Lagebeziehung Parabel-Gerade
In diesem Kapitel schauen wir uns an, welche Lagebeziehungen zwischen einer Parabel und einer Gerade bestehen können und wie man die Lagebeziehung rechnerisch ermittelt.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Quadratische Funktionen
Lagebeziehungen
Zwischen einer Parabel und einer Gerade sind folgende Lagebeziehungen denkbar:
- Parabel und Gerade besitzen keinen Schnittpunkt
- Parabel und Gerade berühren sich in einem Punkt
- Parabel und Gerade schneiden sich in zwei Punkten
Anleitung
Funktionsgleichungen gleichsetzen
Gleichung in allgemeine Form bringen
Gleichung lösen
Ergebnis interpretieren
zu 3)
Hauptkapitel: Quadratische Gleichungen lösen
zu 4)
$\boldsymbol{f(x) = g(x)}$ | Beispiel | Lagebeziehung |
|---|---|---|
| Keine Lösung | $x = \sqrt{-2}$ * | Kein Schnittpunkt |
| Eine (zweifache) Lösung | $x_1 = x_2 = 7$ | Berührpunkt |
| Zwei (verschiedene) Lösungen | $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ | Zwei Schnittpunkte |
* Wurzel einer negativen Zahl (in $\mathbb{R}$) nicht definiert!
Beispiel
Gegeben seien die Funktionsgleichungen einer Parabel
$$ f(x) = 2x^2 - 5x + 7 $$
und einer Gerade
$$ g(x) = 3x + 1 $$
Bestimme rechnerisch die Lagebeziehung zwischen der Parabel und der Gerade.
Funktionsgleichungen gleichsetzen
$$ \begin{align*} f(x) &= g(x) \\[5px] 2x^2 - 5x + 7 &= 3x + 1 \end{align*} $$
Gleichung in allgemeine Form bringen
$$ \begin{align*} 2x^2 - 5x + 7 &= 3x + 1 &&|\, {\color{red}-1} \\[5px] 2x^2 - 5x + 7 {\color{red}\:-\:1}\ &= 3x + 1 {\color{red}\:-\:1} \\[5px] 2x^2 - 5x + 6 &= 3x &&|\, {\color{maroon}-3x} \\[5px] 2x^2 - 5x {\color{maroon}\:-\:3x} + 6 &= 3x {\color{maroon}\:-\:3x} \\[5px] 2x^2 - 8x + 6 &= 0 \end{align*} $$
Gleichung lösen
Bei $2x^2 - 8x + 6 = 0$ handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir u. a. mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen können.
Als Ergebnis erhalten wir
$$ x_1 = 1 $$
$$ x_2 = 3 $$
Ergebnis interpretieren
Es gibt zwei (verschiedene) Lösungen.$\Rightarrow$ Parabel und Gerade schneiden sich bei $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$.
Anmerkung
Falls nach den Schnittpunkten gefragt ist, müssen wir noch ein wenig weiterrechnen. Bislang haben wir nämlich nur die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte berechnet.
Die $y$-Koordinaten erhalten wir durch Einsetzen der $x$-Koordinaten in $f(x)$ (oder $g(x)$):
$$ f(x_1) = f({\color{red}1}) = 2 \cdot {\color{red}1}^2 - 5 \cdot {\color{red}1} + 7 = \phantom{1}{\color{blue}4} \quad \Rightarrow S_1({\color{red}1}|{\color{blue}4}) $$
$$ f(x_2) = f({\color{red}3}) = 2 \cdot {\color{red}3}^2 - 5 \cdot {\color{red}3} + 7 = {\color{blue}10} \quad \Rightarrow S_2({\color{red}3}|{\color{blue}10}) $$
