Lagebeziehung Parabel-Gerade

In diesem Kapitel schauen wir uns an, welche Lagebeziehungen zwischen einer Parabel und einer Gerade bestehen können und wie man die Lagebeziehung rechnerisch ermittelt.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?
Quadratische Funktionen

Lagebeziehungen

Zwischen einer Parabel und einer Gerade sind folgende Lagebeziehungen denkbar:

Parabel und Gerade besitzen keinen Schnittpunkt
Parabel und Gerade berühren sich in einem Punkt
Parabel und Gerade schneiden sich in zwei Punkten

Beispiel 1

Die Gerade heißt Passante, wenn sie mit der Parabel keinen Punkt gemeinsam hat.

0,0

x

y

0

1

1

- 4

- 3

- 2

- 1

2

3

4

- 4

- 3

- 2

- 1

2

3

4

Abb. 1

Beispiel 2

Die Gerade heißt Tangente, wenn sie mit der Parabel einen Punkt gemeinsam hat.

0,0

x

y

0

1

1

- 4

- 3

- 2

- 1

2

3

4

- 4

- 3

- 2

- 1

2

3

4

Abb. 2

Beispiel 3

Die Gerade heißt Sekante, wenn sie mit der Parabel zwei Punkte gemeinsam hat.

0,0

x

y

0

1

1

- 4

- 3

- 2

- 1

2

3

4

- 4

- 3

- 2

- 1

2

3

4

Abb. 3

Anleitung

Funktionsgleichungen gleichsetzen

Gleichung in allgemeine Form bringen

Gleichung lösen

Ergebnis interpretieren

zu 3)

Hauptkapitel: Quadratische Gleichungen lösen

zu 4)

$f (x) = g (x)$	Beispiel	Lagebeziehung
Keine Lösung	$x = \sqrt{- 2}$ *	Kein Schnittpunkt
Eine (zweifache) Lösung	$x_{1} = x_{2} = 7$	Berührpunkt
Zwei (verschiedene) Lösungen	$x_{1} = 1$ und $x_{2} = 3$	Zwei Schnittpunkte

* Wurzel einer negativen Zahl (in $R$ ) nicht definiert!

Beispiel

Beispiel 4

Gegeben seien die Funktionsgleichungen einer Parabel

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 7$

und einer Gerade

$g (x) = 3 x + 1$

Bestimme rechnerisch die Lagebeziehung zwischen der Parabel und der Gerade.

Funktionsgleichungen gleichsetzen

$\begin{aligned} f (x) & = g (x) \\ 2 x^{2} - 5 x + 7 & = 3 x + 1 \end{aligned}$

Gleichung in allgemeine Form bringen

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 5 x + 7 & = 3 x + 1 & | - 1 \\ 2 x^{2} - 5 x + 7 - 1 & = 3 x + 1 - 1 \\ 2 x^{2} - 5 x + 6 & = 3 x & | - 3 x \\ 2 x^{2} - 5 x - 3 x + 6 & = 3 x - 3 x \\ 2 x^{2} - 8 x + 6 & = 0 \end{aligned}$

Gleichung lösen

Bei $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$ handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir u. a. mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen können.

Als Ergebnis erhalten wir

$x_{1} = 1$

$x_{2} = 3$

Ergebnis interpretieren

Es gibt zwei (verschiedene) Lösungen.
$\Rightarrow$ Parabel und Gerade schneiden sich bei $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 3$ .

Anmerkung

Falls nach den Schnittpunkten gefragt ist, müssen wir noch ein wenig weiterrechnen. Bislang haben wir nämlich nur die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte berechnet.

Die $y$ -Koordinaten erhalten wir durch Einsetzen der $x$ -Koordinaten in $f (x)$ (oder $g (x)$ ):

$f (x_{1}) = f (1) = 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 7 = 4 \Rightarrow S_{1} (1 | 4)$

$f (x_{2}) = f (3) = 2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 + 7 = 10 \Rightarrow S_{2} (3 | 10)$