Nullstellen (Quadratische Funktionen)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Nullstelle?
- Was sind quadratische Funktionen?
Einordnung
Bei der Untersuchung von quadratischen Funktionen interessiert man sich oftmals für die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
In der Abbildung ist der Graph einer quadratischen Funktion eingezeichnet. Seine Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind rot hervorgehoben.
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse besitzen die Koordinaten: $\text{S}_1(-2|0)$ und $\text{S}_2(2|0)$.
Die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse ist immer Null.
Aus diesem Grund genügt es, die $x$-Koordinate anzugeben. Diese $x$-Koordinate hat einen speziellen Namen:
Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$-Achse heißt Nullstelle.
Anzahl
Der Graph einer quadratischen Funktion hat maximal zwei Nullstellen.
Nullstellen berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
zu 1)
Da die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse immer Null ist, lautet der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle: $y = 0$.
Wegen $y = f(x)$ kann man auch $f(x) = 0$ schreiben.
zu 2)
Wenn du weißt, wie man quadratische Gleichungen löst, kannst du auch die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen. Das Vorgehen ist nämlich dasselbe!
Wie auch bei quadratischen Gleichungen unterscheiden wir vier Fälle:
$f(x) = ax^2$$f(x) = ax^2 + c$$f(x) = ax^2 + bx$$f(x) = ax^2 + bx + c$
Fall: $f(x) = ax^2$
Funktionen vom Typ $f(x) = ax^2$ besitzen als einzige Nullstelle die Null.
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = 4x^2$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 4x^2 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = -2x^2$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ -2x^2 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = 0{,}5x^2$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 0{,}5x^2 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
Fall: $f(x) = ax^2 + c$
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Gleichung nach $x^2$ auflösen
Wurzel ziehen
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 9$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x^2 - 9 = 0 $$
Gleichung lösen
Gleichung nach $x^2$ auflösen
$$ \begin{align*} x^2 - 9 &= 0 &&|\, {\color{red}+9} \\[5px] x^2 - 9 {\color{red}\:+\:9} &= {\color{red}+9} \\[5px] x^2 &= 9 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= 9 &&|\, \sqrt{\phantom{9}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{9} \\[5px] x &= \pm 3 \end{align*} $$
$$ \Rightarrow x_1 = -3 $$
$$ \Rightarrow x_2 = 3 $$
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = 2x^2 + 8$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 2x^2 + 8 = 0 $$
Gleichung lösen
Gleichung nach $x^2$ auflösen
$$ \begin{align*} 2x^2 + 8 &= 0 &&|\, {\color{red}-8} \\[5px] 2x^2 + 8 {\color{red}\:-\:8} &= {\color{red}-8} \\[5px] 2x^2 &= -8 &&|\, :{\color{maroon}2} \\[5px] \frac{2x^2}{{\color{maroon}2}} &= \frac{-8}{{\color{maroon}2}} \\[5px] x^2 &= -4 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= -4 &&|\, \sqrt{\phantom{9}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{-4} \end{align*} $$
Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in $\mathbb{R}$) nicht definiert!$\Rightarrow$ Die quadratische Gleichung hat keine Lösungen und somit gibt es auch keine Nullstellen.
Fall: $f(x) = ax^2 + bx$
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
$x$ ausklammern
Faktoren gleich Null setzen
zu 1)
Hauptkapitel: Ausklammern
zu 2)
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 + 9x$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x^2 + 9x = 0 $$
Gleichung lösen
$x$ ausklammern
$$ x \cdot (x + 9) = 0 $$
Faktoren gleich Null setzen
$$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x+9)}_{\text{2. Faktor}} = 0 $$
1. Faktor
$$ x = 0 $$
$$ \Rightarrow x_1 = 0 $$
2. Faktor
$$ \begin{align*} x + 9 &= 0 &&|\, {\color{red}-9} \\[5px] x + 9 {\color{red}\:-\:9} &= {\color{red}-9} \\[5px] x &= -9 \end{align*} $$
$$ \Rightarrow x_2 = -9 $$
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = -2x^2 + 4x$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ -2x^2 + 4x = 0 $$
Gleichung lösen
$x$ ausklammern
$$ x \cdot (-2x + 4) = 0 $$
Faktoren gleich Null setzen
$$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(-2x + 4)}_{\text{2. Faktor}} = 0 $$
1. Faktor
$$ x = 0 $$
$$ \Rightarrow x_1 = 0 $$
2. Faktor
$$ \begin{align*} -2x + 4 &= 0 &&|\, {\color{red}-4} \\[5px] -2x + 4 {\color{red}\:-\:4} &= {\color{red}-4} \\[5px] -2x &= -4 &&|\, :({\color{maroon}-2}) \\[5px] \frac{-2x}{{\color{maroon}-2}} &= \frac{-4}{{\color{maroon}-2}} \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$
$$ \Rightarrow x_2 = 2 $$
Fall: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Quadratische Gleichungen dieses Typs lösen wir mit einem der folgenden Verfahren:
- Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
- Mitternachtsformel, wenn die Gleichung in allgemeiner Form vorliegt
- pq-Formel, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt
- Satz von Vieta zum Lösen im Kopf, wenn die Lösungen ganzzahlig sind
Neben den oben genannten exakten Verfahren gibt es noch ein Verfahren, das Näherungslösungen produziert: Quadratische Gleichungen grafisch lösen.
