2. Binomische Formel

In diesem Kapitel schauen wir uns die 2. Binomische Formel etwas genauer an.

Einordnung 

In der Mathematik kommt es häufig vor, dass zwei Binome miteinander multipliziert werden. Dabei kommen insbesondere folgende drei Aufgabenstellungen vor:

1. $(a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$
2. $(a - b) \cdot (a - b) = (a - b)^2$
3. $(a + b) \cdot (a - b)$

Um die Berechnung dieser Produkte zu vereinfachen, verwenden wir die binomischen Formeln:

Formel 

In der Schule lernt man meist zwei Möglichkeiten kennen, um die 2. Binomische Formel herzuleiten: Die algebraische und die geometrische Herleitung. Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf die algebraische Herleitung.

Algebraische Herleitung 

Wer sich mit Potenzen auskennt, weiß, dass $(a-b)^2$ die abkürzende Schreibweise von $(a-b) \cdot (a-b)$ ist. Wie man Klammern ausmultipliziert, haben wir bereits im Kapitel Ausmultiplizieren besprochen. In dem entsprechenden Kapitel steht:

$$ \begin{align*} ({\color{red}a}{\color{maroon}\:-\:b}) \cdot (a-b) &= {\color{red}a} \cdot a + {\color{red}a} \cdot (-b) {\color{maroon}\:-\:b} \cdot a {\color{maroon}\:-\:b} \cdot (-b) \\[5px] &= a \cdot a - a \cdot b - a \cdot b + b \cdot b \\[5px] &= a^2 - 2ab + b^2 \end{align*} $$

Anmerkung: Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen von $b \cdot a$ (2. Zeile) in $a \cdot b$.

Anwendungen 

Ausmultiplizieren 

Wir müssen ausmultiplizieren, wenn $(a-b)^2$ gegeben und $a^2 - 2ab + b^2$ gesucht ist.

$$ \begin{array}{ccccccc} ({\color{red}a}-{\color{maroon}b})^2 & = & {\color{red}a}^2 & - & 2{\color{red}a}{\color{maroon}b} & + & {\color{maroon}b}^2 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{der beiden Glieder}&&\text{2. Glied} \\ &&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ &&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$

Durch Anwendung der 2. Binomischen Formel wird das Ausmultiplizieren von Termen der Form $(a-b)^2$ erheblich vereinfacht. Ohne die Formel müssten wir nämlich jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:

Faktorisieren 

Wir müssen faktorisieren, wenn $a^2 - 2ab + b^2$ gegeben und $(a-b)^2$ gesucht ist.

$$ \begin{array}{ccccccc} a^2 & - & 2ab & + & b^2 & = & ({\color{red}a}-{\color{red}b})^2 \\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}a}$)}&&\text{der beiden Basen}&&\text{(Basis ${\color{red}b}$)}&& \\ &&2 \cdot (a \cdot b)&&&& \\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ {\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$

zu 1)

$a$ und $b$ sind die Basen (Einzahl: Basis) der Potenzen $a^2$ und $b^2$. Eine Potenz mit einem Exponenten von $2$ bezeichnet man auch als Quadrat.

Um die Basis (z. B. $a$) eines Quadrats (z. B. $a^2$) zu berechnen, müssen wir die Wurzel ziehen.

zu 2)

Häufig sind Terme gegeben, die nur auf den ersten Blick so aussehen, als ob man sie mithilfe der 2. Binomischen Formel faktorisieren könnte. Die beiden Basen (1. Schritt) lassen sich meist ohne Probleme berechnen. Danach sollte man jedoch überprüfen, ob das mittlere Glied auch wirklich das doppelte Produkt der beiden Basen ist. Gilt das nämlich nicht, ist ein Faktorisieren mithilfe der 2. Binomischen Formel nicht möglich.