Parameterform einer Geradengleichung
In diesem Kapitel besprechen wir die Geradengleichung in Parameterform.
Herleitung
Gegeben ist eine Gerade. Unser Ziel ist es, eine Formel für diese Gerade zu finden, damit wir mit der Gerade rechnen können.
Dazu wählt man zunächst einen Punkt der Gerade als Aufpunkt. In diesem Fall haben wir den Punkt $A$ ausgewählt. Der zugehörige Ortsvektor heißt $\vec{a}$.
Als Nächstes wählt man einen Richtungsvektor in Richtung der Gerade. In diesem Fall haben wir den Richtungsvektor $\vec{u}$ ausgewählt.
Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.
Die Geradengleichung in Parameterform lautet
$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$
Mithilfe von $\vec{a}$ (Ortsvektor des Aufpunktes) und $\vec{u}$ (Richtungsvektor) können wir jeden Punkt $\vec{x}$ (Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes) auf der Gerade bestimmen.
Dabei ist $\lambda$ der Parameter, der den Vektor $\vec{u}$ verlängert, verkürzt oder seine Richtung ändert (siehe Skalarmultiplikation), damit jeder Geradenpunkt $\vec{x}$ beschrieben werden kann.
Man bezeichnet die Geradengleichung entweder als Geradengleichung in Parameterform (wegen $\lambda$) oder als Punkt-Richtungs-Gleichung (wegen $A$ und $\vec{u}$).
Parameterform aufstellen
Gegeben ist ein Punkt $A(2|3|1)$ und ein Richtungsvektor
$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Stelle eine Geradengleichung in Parameterform auf.
$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$
