Umfang eines Kreisrings
Wenn wir aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit gleichem Mittelpunkt herausschneiden, entsteht ein Kreisring. Wir können die Ringbreite, den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen. In diesem Kapitel schauen wir uns die Berechnung des Umfangs an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Umfang eines Kreisrings ist der Fachbegriff für die Länge der Begrenzungslinie des Kreisrings.
Umfang eines Kreisrings berechnen
Innenradius und Außenradius gegeben
Formel
Der Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ entspricht der Summe von innerem und äußerem Kreisumfang:
$$ \begin{align*} u_{\textrm{Kreisring}} &= u_i + u_a \\[5px] &= 2\pi \cdot r_i + 2\pi \cdot r_a &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \end{align*} $$
$$ u_{\textrm{Kreisring}} = 2\pi \cdot (r_i + r_a) $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{r_i}$ und $\boldsymbol{r_a}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innenradius $r_i = 3\ \textrm{cm}$ und dem Außenradius $r_a = 5\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ u_{\textrm{Kreisring}} = 2\pi \cdot (r_i + r_a) $$
Werte für $\boldsymbol{r_i}$ und $\boldsymbol{r_a}$ einsetzen
$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = 2\pi \cdot (3\ \textrm{cm} + 5\ \textrm{cm}) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 50{,}26\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 50{,}3\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innenradius $r_i = 6\ \textrm{m}$ und dem Außenradius $r_a = 9\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ u_{\textrm{Kreisring}} = 2\pi \cdot (r_i + r_a) $$
Werte für $\boldsymbol{r_i}$ und $\boldsymbol{r_a}$ einsetzen
$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = 2\pi \cdot (6\ \textrm{m} + 9\ \textrm{m}) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 94{,}247\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 94{,}25\ \textrm{m} \end{align*} $$
Innendurchmesser und Außendurchmesser gegeben
Formel
Der Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ entspricht der Summe von innerem und äußerem Kreisumfang:
$$ \begin{align*} u_{\textrm{Kreisring}} &= u_i + u_a \\[5px] &= \pi \cdot d_i + \pi \cdot d_a &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \end{align*} $$
$$ u_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (d_i + d_a) $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{d_i}$ und $\boldsymbol{d_a}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innendurchmesser $d_i = 2\ \textrm{cm}$ und dem Außendurchmesser $d_a = 8\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ u_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (d_i + d_a) $$
Werte für $\boldsymbol{d_i}$ und $\boldsymbol{d_a}$ einsetzen
$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = \pi \cdot (2\ \textrm{cm} + 8\ \textrm{cm}) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 31{,}41\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 31{,}4\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innendurchmesser $d_i = 19\ \textrm{m}$ und dem Außendurchmesser $d_a = 28\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ u_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (d_i + d_a) $$
Werte für $\boldsymbol{d_i}$ und $\boldsymbol{d_a}$ einsetzen
$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = \pi \cdot (19\ \textrm{m} + 28\ \textrm{m}) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 147{,}654\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 147{,}65\ \textrm{m} \end{align*} $$
