Deskriptive Statistik
In der deskriptiven Statistik werden Daten erhoben, aufbereitet und analysiert.
Merkmale
Die Eigenschaft einer Sache oder eines Lebewesens, die bei einer Datenerhebung untersucht wird, heißt Merkmal.
Wir fragen aller Schüler einer Klasse nach ihrer Körpergröße.
$\Rightarrow$ Die Körpergröße ist das zu untersuchende Merkmal der Erhebung.
Die verschiedenen Werte, die Merkmale annehmen können, heißen Merkmalsausprägungen.
$$ \begin{array}{r|l} \hline \bf{\text{Merkmal}} & \bf{\text{Merkmalsausprägung}} \\ \hline \text{Geschlecht} & \text{männlich, weiblich} \\ \hline \text{Schulnote} & \text{1, 2, 3, 4, 5, 6} \\ \hline \text{Körpergröße} & x\ \textrm{cm} \\ \hline \text{Alter} & x \text{ Jahre} \\ \hline \end{array} $$
Grundgesamtheit und Stichprobe
Die Menge aller Elemente, auf die ein Untersuchungsziel in der Statistik gerichtet ist, heißt Grundgesamtheit.
Wir untersuchen die Körpergröße aller Schüler in einer Klasse.
$\Rightarrow$ Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Schüler der Klasse.
In unserem Beispiel untersuchen wir die Körpergröße von Schülern einer Klasse. In der Praxis beschäftigt sich die Statistik meist mit viel größeren Grundgesamtheiten. Stellen wir uns nur mal vor, wir würden uns für die Körpergröße aller 9. Klässler in Deutschland interessieren. Aus zeitlichen und nicht zuletzt finanziellen Gründen ist es fast unmöglich, hunderttausende Schüler nach ihrer Körpergröße zu befragen bzw. sie zu messen. In so einem Fall würde man die Untersuchung auf eine sog. Stichprobe beschränken.
Eine zufällige Teilmenge der Grundgesamtheit heißt Stichprobe.
Wir untersuchen die Körpergröße (das Beobachtungsmerkmal) aller 9. Klässler in Deutschland (die Grundgesamtheit). Aus dieser Menge wählen wir zufällig 1000 Schüler (die Stichprobe) aus.
Eine Datenerhebung der Grundgesamtheit heißt Vollerhebung.
Eine Datenerhebung einer Stichprobe heißt Stichprobenerhebung.
Eine Klasse hat 30 Schüler. Gegenstand der Untersuchung ist das Merkmal Körpergröße. Befragt man alle 30 Schüler der Klasse nach ihrer Körpergröße, handelt es sich um eine Vollerhebung. Wenn man dagegen nur einen Teil der Schüler (z. B. 5 Schüler) befragt, handelt es sich um eine Stichprobenerhebung.
Die in einer Stichprobe beobachteten Werte heißen Stichprobenwerte oder Beobachtungswerte.
Wir messen die Körpergröße von 5 Schülern der Klasse.
Die Stichprobenwerte sind dann die gemessenen Körpergrößen, z. B.
172 cm, 164 cm, 167 cm, 175 cm, 159 cm;
| Begriff | Mathematische Bezeichnung |
|---|---|
Stichprobe vom Umfang $N$ | $(x_1,\ldots,x_n)$ |
| Stichprobenwerte / Beobachtungswerte | $x_1,\ldots,x_n$ |
Übrigens: Bei $(x_1,\ldots,x_n)$ handelt es sich um ein $n$-Tupel.
Statistische Maßzahlen
Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen.
Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten Maßzahlen eindimensionaler Stichproben:
| Lageparameter | |
| Arithmetisches Mittel | $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$ |
| Geometrisches Mittel | $$\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$$ |
| Harmonisches Mittel | $$\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}$$ |
| Median | $$\begin{equation*}\tilde{x} =\begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\\\\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}\end{cases}\end{equation*}$$ |
| Modus | $$\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}$$ |
| Streuungsparameter | |
| Spannweite (engl. range) | $$R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}$$ |
| Interquartilsabstand (engl. interquartile range) | $$IQR = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25}$$ |
| Mittlere absolute Abweichung (engl. average absolute deviation) | $$D = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}|x_i - \bar{x}|$$ |
