Satz von Bayes
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Satz von Bayes besagt.
Erforderliches Vorwissen
Bedeutung
Wir betrachten ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen $A$ und $B$.
Gegeben: $P_A(B)$
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist.
Gesucht: $P_B(A)$
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist.
Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen:
Man geht von einem bekannten Wert $P_A(B)$ aus, mit dessen Hilfe man $P_B(A)$ berechnet.
Herleitung
Um die Formel für die Berechnung von $P_B(A)$ aus $P_A(B)$ zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen.
Nach dem Multiplikationssatz gilt:
$$ P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A) $$
Gleichung nach $P_B(A)$ auflösen:
$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
VORSICHT!
Bei diesem Baumdiagramm ist der Ablauf (im Vergleich zum ersten Baumdiagramm) vertauscht.
Nach dem Multiplikationssatz gilt:
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) $$
Wir ersetzen $P(A \cap B)$ aus der Formel der 1. Abbildung
$$ P_B(A) = \frac{{\colorbox{yellow}{$P(A \cap B)$}}}{P(B)} $$
mit dem $P(A \cap B)$ aus der 2. Abbildung
$$ {\colorbox{yellow}{$P(A \cap B)$}} = {\colorbox{orange}{$P(A) \cdot P_A(B)$}} $$
und erhalten den Satz von Bayes
$$ P_B(A) = \frac{{\colorbox{orange}{$P(A) \cdot P_A(B)$}}}{P(B)} $$
Den Nenner des Bruchs können wir noch umschreiben. Dazu brauchen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.
Satz von Bayes
$$ P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)} $$
Beispiel
Eine Schülerin fährt in 70 % der Schultage mit dem Bus. In 80 % dieser Fälle kommt sie pünktlich zur Schule. Durchschnittlich kommt sie aber nur an 60 % der Schultage pünktlich an.
Heute kommt die Schülerin pünktlich zur Schule. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie den Bus benutzt?
Für die Ereignisse werden folgende Bezeichnungen gewählt:$A$: Die Schülerin fährt mit dem Bus.
$B$: Die Schülerin kommt pünktlich an.
Demnach gilt:$\overline{A}$: Die Schülerin fährt nicht mit dem Bus.
$\overline{B}$: Die Schülerin kommt nicht pünktlich an.
Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.
Eine Schülerin fährt zu 70 % mit dem Bus.$$ \Rightarrow P(A) = 0{,}7 $$
In 80 % dieser Fälle kommt sie pünktlich.$$ \Rightarrow P_A(B) = 0{,}8 $$
Durchschnittlich kommt sie zu 60 % pünktlich.$$ \Rightarrow P(B) = 0{,}6 $$
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für BUS unter der Bedingung PÜNKTLICH: $P_B(A)$.
Da $P_A(B)$ gegeben und $P_B(A)$ gesucht ist, lösen wir die Aufgabe mit dem Satz von Bayes:
$$ \begin{align*} P_B(A) &= \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} \\[5px] &= \frac{0{,}7 \cdot 0{,}8}{0{,}6} \\[5px] &= 0{,}9\overline{3} \\[5px] &\approx 93{,}33\ \% \end{align*} $$
Aus der gegebenen Information
Zu 80 % ist die Schülerin pünktlich, wenn sie mit dem Bus gekommen ist
= $P_A(B)$
haben wir mithilfe des Satzes von Bayes folgende Information gewonnen
Zu 93,33 % ist die Schülerin mit dem Bus gekommen, wenn sie pünktlich ist
= $P_B(A)$
Wir merken uns: Der Satz von Bayes erlaubt die Umkehrung von Schlussfolgerungen.
