Zufallsvariable

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Zufallsvariable (Zufallsgröße, zufällige Größe, zufällige Variable) ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Definiton

Zu jedem Zufallsexperiment gehört ein Ergebnisraum $\Omega$ . Die einzelnen Ergebnisse $\omega_i$ können Buchstaben, Buchstabenkombinationen oder Zahlen sein.

Beispiel 1

Zufallsexperiment: Werfen einer Münze

Ergebnisraum: $\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}$

Mit Buchstaben oder anderen Symbolen kann man nicht numerisch rechnen. Den einzelnen Ergebnissen des Ergebnisraums werden deshalb Zahlenwerte zugeordnet. Diese Zuordnung wird durch eine Funktion, der sog. Zufallsvariable, beschrieben: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.

Eine Funktion $X$ , die jedem Ergebnis $\omega$ des Ergebnisraum $\Omega$ genau eine Zahl $x$ der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ zuordnet, heißt Zufallsvariable.

Kurzschreibweise: $X\colon \Omega \to \mathbb{R}$

Diese Definition lässt sich in einem Mengendiagramm sehr leicht veranschaulichen.

Eine Zufallsvariable ordnet jedem $\omega_i$ aus $\Omega$ genau ein $x_i$ aus $\mathbb{R}$ zu.

Abb. 1

Eine Zufallsvariable entsteht nicht zufällig

Lass dich von dem Wort Zufallsvariable nicht verwirren! Eine Zufallsvariable $X$ ist keine Zahl, die in einem Zufallsexperiment zufällig herauskommt, sondern eine Funktion, die jedem zufällig entstehenden Ergebnis $\omega$ einen ganz genau bestimmten Zahlenwert $x$ zuordnet: $X\colon \omega \to x$ .

Diskret oder stetig?

Man kann zwischen diskreten Zufallsvariablen und stetigen Zufallsvariablen unterscheiden. Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf diskrete Zufallsvariablen.

Funktion vs. Zufallsvariable

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass eine Zufallsvariable nichts anderes ist als eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften. Es liegt daher nahe, die Schreibweisen und Bezeichnungen einer normalen Funktion mit denen einer Zufallsvariable zu vergleichen:

Funktion $\boldsymbol{f}$	Zufallsvariable $\boldsymbol{X}$
$f\colon D \to W$	$X\colon \Omega \to \mathbb{R}$
$f\colon x \to y$	$X\colon \omega \to x$
$y = f(x)$	$x = X(\omega)$

Bedeutung der wichtigsten Formelzeichen

$X$ : Zufallsvariable (= Funktion)
$\Omega$ : Ergebnisraum (= Definitionsmenge)
$\mathbb{R}$ : Menge der reellen Zahlen (= Wertemenge)
$\omega$ : Ergebnis eines Zufallsexperiments (= Element der Definitionsmenge)
$x$ : Reelle Zahl (= Element der Wertemenge)
$X(\omega)$ : Zuordnungsvorschrift (= Funktionsgleichung)

Die Zuordnungsvorschrift $X(\omega)$ ist das Bindeglied zwischen der Definitionsmenge $\Omega$ und der Wertemenge $\mathbb{R}$ . Sie ordnet jedem Element der Definitionsmenge $\omega$ genau ein Element der Wertemenge $x$ zu.

Es ist üblich, Zufallsvariablen mit großen Buchstaben ( $X$ , $Y$ ,…) zu bezeichnen, dagegen die Werte, die sie annehmen, mit den entsprechenden Kleinbuchstaben ( $x$ , $y$ ,…). Diese Werte heißen auch Realisationen der Zufallsvariable.

Darstellung

Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen:

als Wertetabelle
als abschnittsweise definierte Funktion
als Mengendiagramm

Beispiele

Wir wissen bereits, dass eine Zufallsvariable $X$ eine Funktion ist, die jedem zufällig entstehenden Ergebnis $\omega$ einen ganz genau bestimmten Zahlenwert $x$ zuordnet. Es bleibt die Frage, von welchen Zahlenwerten hier die Rede ist. Häufig lassen sich den verschiedenen Ergebnissen eines Zufallsexperiments auf ganz natürliche Weise Zahlen zuordnen:

die Augenzahl beim Werfen eines Würfels,
die Summe der Augenzahlen beim Werfen mehrerer Würfel,
die Anzahl der Würfe einer Münze, bis zum ersten Mal $\text{KOPF}$ oben liegt
der Gewinn bei einem Glücksspiel
…

Beispiel 2

Ein Würfel wird einmal geworfen.

Die Zufallsvariable $X$ ordnet jedem Ergebnis $\omega$ seine Augenzahl $x$ zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Ergebnis } \omega_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} 1 & \text{für } \omega = 1 \\[5px] 2 & \text{für } \omega = 2 \\[5px] 3 & \text{für } \omega = 3 \\[5px] 4 & \text{für } \omega = 4 \\[5px] 5 & \text{für } \omega = 5 \\[5px] 6 & \text{für } \omega = 6 \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 2

Beispiel 3

Eine Münze wird einmal geworfen.
Wenn $\text{KOPF}$ oben liegt, verlieren wir 1 Euro.
Wenn $\text{ZAHL}$ oben liegt, gewinnen wir 1 Euro.

Die Zufallsvariable $X$ ordnet jedem Ergebnis $\omega$ seinen Gewinn $x$ zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|r|r} \text{Ergebnis } \omega_i & \text{KOPF} & \text{ZAHL} \\ \hline \text{Gewinn } x_i & -1 & 1 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} -1 & \text{für } \omega = \text{KOPF} \\[5px] 1 & \text{für } \omega = \text{ZAHL} \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 3