Ergebnis & Ergebnisraum
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Ergebnis, dem Ergebnisraum (Synonym: Ergebnismenge) und der Mächtigkeit des Ergebnisraums eines Zufallsexperiments.
Erforderliches Vorwissen
- Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
Ergebnis
Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis $\boldsymbol{\omega}$.
Ergebnisse werden mit dem griechischen Buchstaben $\omega$ (Klein-Omega
) bezeichnet.
Zufallsexperiment: Ziehen einer Kugel aus einer Urne
Mögliche Ergebnisse: die Farben der Kugeln oder die aufgedruckten Zahlen
Zufallsexperiment: Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel
Mögliche Ergebnisse: Bube, Dame, König, Ass sowie die Zahlen 2 bis 10
Zufallsexperiment: Drehen eines Glücksrads
Mögliche Ergebnisse: die Sektoren auf der Scheibe des Glückrads
Ergebnisraum
Wir wollen alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in einer Menge zusammen:
Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum $\boldsymbol{\Omega}$.
Ergebnisräume werden mit dem griechischen Buchstaben $\Omega$ (Groß-Omega
) bezeichnet.
Zufallsexperiment
Werfen einer Münze
Ergebnisraum
$$ \Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} $$
Der Ergebnisraum $\Omega$ kann je nach Bedarf unterschiedlich angegeben werden.
Zufallsexperiment
Werfen eines Würfels
Ergebnisraum 1
Frage nach der Augenzahl
$$ \Omega_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$
Ergebnisraum 2
Frage, ob Augenzahl gerade oder ungerade
$$ \Omega_2 = \{\text{gerade}, \text{ungerade}\} $$
Ergebnisraum 3
Frage, ob 6 (= Treffer) oder Nicht-6 (= Niete) geworfen wird
$$ \Omega_3 = \{\text{Treffer}, \text{Niete}\} $$
Mächtigkeit des Ergebnisraums
Wir wollen die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bestimmen.
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums $\boldsymbol{|\Omega|}$.
Der Begriff Mächtigkeit
stammt aus der Mengenlehre (siehe Mächtigkeit einer Menge).
Die Mächtigkeit des Ergebnisraums gibt an, wie viele Elemente in der Menge $\Omega$ liegen.
Zufallsexperiment
Werfen einer Münze
Ergebnisraum
$$ \Omega = \{\text{Zahl}, \text{Kopf}\} $$
Mächtigkeit des Ergebnisraums
Durch Abzählen stellen wir fest, dass im Ergebnisraum 2 Elemente sind.
$$ |\Omega| = 2 $$
Zufallsexperiment
Werfen eines Würfels
Ergebnisraum
$$ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$
Mächtigkeit des Ergebnisraums
Durch Abzählen stellen wir fest, dass im Ergebnisraum 6 Elemente sind.
$$ |\Omega| = 6 $$
Arten von Ergebnisräumen
Ergebnisräume lassen nach der Anzahl ihrer Elemente in drei Arten unterteilen.
Endlicher Ergebnisraum
Ein Ergebnisraum heißt endlich, wenn
(a) die Elemente des Ergebnisraums abgezählt werden können und
(b) sich eine Obergrenze angeben lässt.
Erreichte Punktzahl in einer Klausur
(Nur ganze Punkte werden vergeben; Maximalpunktzahl: 90)
$$ \Omega = \{1, 2, 3,\dots, 90\} $$
Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum
Ein Ergebnisraum heißt abzählbar-unendlich, wenn
(a) die Elemente des Ergebnisraums abgezählt werden können und
(b) sich keine Obergrenze angeben lässt.
Werfen einer Münze bis Zahl
kommt
$$ \Omega = \{\text{Z}, \text{KZ}, \text{KKZ},\dots\} $$
Eingangene Bestellungen in einer Pizzeria in einem Monat
$$ \Omega = \{1, 2, 3,\dots\} $$
Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum
Ein Ergebnisraum heißt überabzählbar-unendlich, wenn
die Elemente des Ergebnisraums nicht abgezählt werden können.
