Stochastische Unabhängigkeit
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die stochastische Unabhängigkeit ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Zufallsexperiment?
- Was ist ein Ereignis?
Definition I
Gegeben sind zwei Ereignisse $A$ und $B$.
Es stellt sich die Frage, ob sich die beiden Ereignisse gegenseitig beeinflussen: Wirkt sich das Eintreten des einen Ereignisses auf das Eintreten des anderen aus oder nicht?
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.
Was man umgangssprachlich unter Unabhängigkeit versteht, gilt also auch hier.
Beispiel
In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln.
Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Unabhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, $\frac{4}{10}$.
Das Ziehen mit Zurücklegen führt zu unabhängigen Ereignissen.
In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln.
Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Abhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, entweder $\frac{3}{9}$ oder $\frac{4}{9}$.
Das Ziehen ohne Zurücklegen führt zu abhängigen Ereignissen.
In den folgenden beiden Abbildungen sind die Erkenntnisse, die wir aus dem obigen Beispiel gewonnen haben, verallgemeinert dargestellt.
Unabhängige Ereignisse
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ im 2. Zug ist unabhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis $B$ oder $\overline{B}$ eintritt.
In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit gleich $P(A)$.
Abhängige Ereignisse
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis $B$ oder $\overline{B}$ eintritt:
$P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist.
$P_{\overline{B}}(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $\overline{B}$ eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wir haben gesehen, dass sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen verändern können, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, haben Mathematiker den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt.
Definition II
Mit dem Wissen aus dem obigen Beispiel können wir die stochastische Unabhängigkeit auch folgendermaßen definieren:
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
Gilt die obige Gleichung nicht, dann heißen die Ereignisse stochastisch abhängig.
Herleitung der Formel
Um die Formel für die stochastische Unabhängigkeit herzuleiten, müssen wir lediglich die 1. Pfadregel auf das Baumdiagramm für unabhängige Ereignisse anwenden.
1. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
Unabhängigkeit und Baumdiagramm
Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse hat jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast in einem Baumdiagramm die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Äste, die in die gleiche Richtung zeigen, stehen parallel zueinander. In der Abbildung sind sie rot (grün) hervorgehoben.
Wenn die Ereignisse $A$ und $B$ unabhängig sind, dann sind dies auch $\overline{A}$ und $B$, $A$ und $\overline{B}$ sowie $\overline{A}$ und $\overline{B}$.
Für zwei unabhängige Ereignisse gilt:
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
$$ P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) $$
$$ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) $$
$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) $$
$A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Vervollständige das Baumdiagramm.
$$ P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 $$
$$ P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3 $$
$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 $$
$$ P(\overline{A} \cap B) = 0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28 $$
$$ P(A \cap \overline{B}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18 $$
$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42 $$
Unabhängigkeit und Vierfeldertafel
Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte.
Für zwei unabhängige Ereignisse gilt:
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
$$ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) $$
$$ P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) $$
$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) $$
$A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Vervollständige die Vierfeldertafel.
$$ P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 $$
$$ P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3 $$
$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 $$
$$ P(A \cap \overline{B}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18 $$
$$ P(\overline{A} \cap B) = 0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28 $$
$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42 $$
Anwendung
Die Anwendung der stochastischen Unabhängigkeit geschieht meist in der Form, dass man die Unabhängigkeit aufgrund der Versuchsbeschreibung (z. B. Ziehen mit Zurücklegen) als gegeben ansieht und daraufhin die Formel $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ benutzt, um die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$ mithilfe der bekannten Einzelwahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$ zu berechnen.
