Bedingte Wahrscheinlichkeit
In diesem Kapitel schauen wir uns die bedingte Wahrscheinlichkeit an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können sich verändern, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt:
$P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung,
dass $B$ eingetreten ist.
Statt $P_B(A)$ schreibt man auch häufig $P(A | B)$.
Veranschaulichung
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann in einem Baumdiagramm veranschaulicht werden.
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis $B$ oder $\overline{B}$ eintritt:
$P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist.
$P_{\overline{B}}(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $\overline{B}$ eingetreten ist.
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $\overline{A}$ im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis $B$ oder $\overline{B}$ eintritt:
$P_B(\overline{A})$ ist die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A}$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist.
$P_{\overline{B}}(\overline{A})$ ist die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A}$ unter der Bedingung, dass $\overline{B}$ eingetreten ist.
In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln.
Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Abhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, entweder $\frac{3}{9}$ oder $\frac{4}{9}$.
Formel
Zur Berechnung der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit brauchen wir die 1. Pfadregel.
1. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
Laut der 1. Pfadregel gilt:
$$ P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A) $$
Das Auflösen dieser Gleichung nach $P_B(A)$ führt zur bedingten Wahrscheinlichkeit.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ist gleich dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit von $A$ und $B$ und der Wahrscheinlichkeit von $B$.
Bedeutung
$P_B(A)$= Wahrscheinlichkeit von$A$unter der Bedingung$B$$P(A \cap B)$= Wahrscheinlichkeit von$A$und$B$$P(B)$= Wahrscheinlichkeit von$B$
Die 1. Pfadregel lässt sich natürlich auch auf die anderen Pfade anwenden.
Entsprechend gilt:
$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
$$ P_B(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} $$
$$ P_{\overline{B}}(A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} $$
$$ P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} $$
Beispiel
Unter den 20 Schülern einer 11. Klasse sind 4 Raucher. Von den 12 männlichen Schülern sind 3 Raucher.
Gesucht wird ein neuer Klassensprecher. Man denkt sich die Auswahl eines Schülers auf gut Glück
als Zufallsexperiment. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, ist für jeden Schüler gleich groß (= Laplace-Experiment).
Wie groß ist der Anteil der Männer unter der Bedingung, dass es sich um einen Raucher handelt?
Für die Ereignisse werden folgende Bezeichnungen gewählt:$R$: Der ausgewählte Schüler ist Raucher.
$M$: Der ausgewählte Schüler ist männlich.
Demnach gilt:$\overline{R}$: Der ausgewählte Schüler ist Nichtraucher.
$\overline{M}$: Der ausgewählte Schüler ist weiblich.
Gesucht ist $P_R(M)$.
Hinweis: Diese Aufgabe lässt sich sowohl mit einer Vierfeldertafel als auch mit einem Baumdiagramm lösen. Wir haben uns hier für die Vierfeldertafel entschieden.
Vierfeldertafel anlegen
Wie die Felder bezeichnet werden, ist nicht von vornherein festgelegt. Du hast die Qual der Wahl. Wir haben uns dafür entschieden, die Geschlechter ($M$ und $\overline{M}$) oben und den Raucherstatus ($R$ und $\overline{R}$) links anzuordnen.
Zur Wiederholung haben wir noch einmal einige Felder der Vierfeldertafel beschriftet.
Vierfeldertafel ausfüllen
Unter den 20 Schülern einer 11. Klasse sind 4 Raucher. Von den 12 männlichen Schülern sind 3 Raucher.
Mithilfe der Informationen aus der Aufgabenstellung können wir bereits einige Felder ausfüllen.
Die restlichen Felder lassen sich durch einfache Rechnungen leicht ergänzen.
$$ 3 + x_1 = 4 $$
$$ \Rightarrow x_1 = 1 $$
Interpretation
Es gibt insgesamt 4 Raucher.
Davon sind 3 männlich.$\Rightarrow$ 1 Raucher ist weiblich.
$$ 3 + x_2 = 12 $$
$$ \Rightarrow x_2 = 9 $$
Interpretation
Es gibt insgesamt 12 männliche Schüler.
Davon rauchen 3 Schüler.$\Rightarrow$ 9 männliche Schüler sind Nichtraucher.
$$ 12 + x_3 = 20 $$
$$ \Rightarrow x_3 = 8 $$
Interpretation
Es gibt insgesamt 20 Schüler.
Davon sind 12 männlich.$\Rightarrow$ 8 Schüler sind weiblich.
$$ 1 + x_4 = 8 $$
$$ \Rightarrow x_4 = 7 $$
Interpretation
Es gibt insgesamt 8 weibliche Schüler.
Davon raucht 1 Schüler.$\Rightarrow$ 7 weibliche Schüler sind Nichtraucher.
$$ 4 + x_5 = 20 $$
$$ \Rightarrow x_5 = 16 $$
Interpretation
Es gibt insgesamt 20 Schüler.
Davon rauchen 4 Schüler.$\Rightarrow$ 16 Schüler sind Nichtraucher.
Alternativ könnte man $x_5$ auch so berechnen:
$$ 9 + 7 = x_5 $$
$$ \Rightarrow x_5 = 16 $$
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um im nächsten Schritt die bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir zuerst die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Beispiel
$$ P(R \cap M) = \frac{|R \cap M|}{|\Omega|} = \frac{3}{20} = 0{,}15 $$
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
$$ P_R(M) = \frac{P(R \cap M)}{P(R)}$$ $$\phantom{P_R(M)} = \frac{{\colorbox{yellow}{$0{,}15$}}}{{\colorbox{orange}{$0{,}2$}}} = 0{,}75 = 75\ \% $$
Der Anteil der Männer unter der Bedingung, dass es sich um einen Raucher handelt, beträgt 75 %.
Anders formuliert:
Zu 75 % ist ein aus der Gruppe der Raucher ausgewählter Schüler ein Mann.
Sätze
Aus der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich eine Vielzahl interessanter Sätze:
| Was ist gesucht? | Beispiel | |
|---|---|---|
| Multiplikationssatz | Elementarereignis | $P(A \cap B)$ |
| Satz der totalen Wahrscheinlichkeit | Ereignis | $P(A)$ |
| Satz von Bayes | Umgekehrte Schlussfolgerung | $P_A(B) \rightarrow P_B(A)$ |
