Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
In diesem Kapitel besprechen wir, was der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besagt.
Erforderliches Vorwissen
Bedeutung
Gegeben sind ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen $A$ und $B$ sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses.
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ ist.
Gesucht ist also $P(A)$.
Herleitung
Die totale Wahrscheinlichkeit berechnet man mithilfe der 2. Pfadregel.
2. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
Für obiges Beispiel gilt:
$$ \begin{align*} P(A) &= P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \\[5px] &= P(B) \cdot P_B(A) + P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(A) \end{align*} $$
In der Fachliteratur wird der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit meist so aufgeschrieben:
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
$$ \begin{align*} P(A) &= P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \\[5px] &= P(B) \cdot P_B(A) + P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(A) \end{align*} $$
Beispiele
Eine Gemeinde wird zur Bürgermeisterwahl in zwei Wahlbezirke ($B_1$ und $B_2$) eingeteilt.
60 % der Wähler kommen aus $B_1$, 40 % aus $B_2$.
In $B_1$ erhält der Kandidat Albrecht 30 % der Stimmen, in $B_2$ dagegen 80 %.
Wie viel Prozent der Stimmen hat der Kandidat Albrecht insgesamt bekommen?
Veranschauliche die Aufgabe in einem Baumdiagramm und beantworte die Frage.
In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln schwarz ist?
Veranschauliche die Aufgabe in einem Baumdiagramm und beantworte die Frage.
1. Ziehung
Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau $\frac{4}{9}$.
Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach $\frac{5}{9}$.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine schwarze Kugel hat
Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne: 3 schwarze und 5 weiße.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine weiße Kugel hat
Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne: 4 schwarze und 4 weiße.
Mithilfe des Baumdiagramms können wir die Beispielaufgabe sehr einfach lösen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine der gezogenen Kugeln schwarz ist.
Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:
$$ \begin{align*} P(\{SW, WS\}) &= \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \\[5px] &= \frac{5}{9} \\[5px] &\approx 55{,}56\ \% \end{align*} $$
Zu 55,56 % ist bei zwei Ziehungen aus einer Urne mit 4 schwarzen und 5 weißen Kugeln genau eine der Kugeln schwarz.
Zusammenfassung
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit verrät uns, wie man in einem mehrstufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Ein Ereignis entspricht mehreren Elementarereignissen. Die Berechnung erfolgt mithilfe der 2. Pfadregel.
