Multiplikationssatz
In diesem Kapitel besprechen wir, was der Multiplikationssatz (Produktsatz) besagt.
Erforderliches Vorwissen
Bedeutung
Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen $A$ und $B$ gibt es vier Elementarereignisse, nämlich $A \cap B$, $\overline{A} \cap B$, $A \cap \overline{B}$ und $\overline{A} \cap \overline{B}$.
Der Multiplikationssatz liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Elementarereignisses ist.
Herleitung
Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse berechnet man mithilfe der 1. Pfadregel.
1. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(\overline{A}) $$
Zusammenfassung
$$ P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A) $$
$$ P(\overline{A} \cap B) = P(B) \cdot P_B(\overline{A}) $$
$$ P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(A) $$
$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(\overline{A}) $$
In der Fachliteratur wird der Multiplikationssatz meist einfach so aufgeschrieben:
Multiplikationssatz für zwei Ereignisse $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
$$ P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A) $$
Beispiele
Eine Gemeinde wird zur Bürgermeisterwahl in zwei Wahlbezirke ($B_1$ und $B_2$) eingeteilt.
60 % der Wähler kommen aus $B_1$, 40 % aus $B_2$.
In $B_1$ erhält der Kandidat Albrecht 30 % der Stimmen, in $B_2$ dagegen 80 %.
Wir treffen einen Wähler auf der Straße und fragen ihn nach seinem Bezirk und seiner Wahl.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wähler aus $B_2$ kommt und Albrecht gewählt hat?
Veranschauliche die Aufgabe in einem Baumdiagramm und beantworte die Frage.
In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln schwarz sind?
Veranschauliche die Aufgabe in einem Baumdiagramm und beantworte die Frage.
1. Ziehung
Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau $\frac{4}{9}$.
Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach $\frac{5}{9}$.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine schwarze Kugel hat
Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne: 3 schwarze und 5 weiße.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine weiße Kugel hat
Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne: 4 schwarze und 4 weiße.
Mithilfe des Baumdiagramms können wir die Beispielaufgabe sehr einfach lösen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Kugeln schwarz sind.
Laut dem Multiplikationssatz gilt:
$$ \begin{align*} P(\{SS\}) &= \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \\[5px] &= \frac{1}{6} \\[5px] &\approx 16{,}67\ \% \end{align*} $$
Zu 16,67 % sind bei zwei Ziehungen aus einer Urne mit 4 schwarzen und 5 weißen Kugeln beide Kugeln schwarz.
Zusammenfassung
Der Multiplikationssatz verrät uns, wie man in einem mehrstufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Die Berechnung erfolgt mithilfe der 1. Pfadregel.
