Laplace-Experiment
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Laplace-Experiment ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Zufallsexperiment?
- Was ist ein Ereignis?
- Was ist ein Elementarereignis?
Definition
Ein Laplace-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment:
Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Die oben genannten Glücksspiele behandelt man im Allgemeinen idealisiert als Laplace-Experimente.
Laplace-Würfel vs. Laplace-Münze
Dass es sich um ein Laplace-Experiment handelt, verrät bereits häufig die Aufgabenstellung. Oft ist nämlich von einem Laplace-Würfel oder Ähnlichem die Rede. Ein Laplace-Würfel (L-Würfel) ist ein idealer Würfel, bei dem das Auftreten jeder Augenzahl gleich wahrscheinlich ist. Eine ideale Münze bezeichnet man dementsprechend auch als Laplace-Münze (L-Münze).
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Definition
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment heißt Laplace-Wahrscheinlichkeit.
Formel
$$ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} $$
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ eines Laplace-Experiments ist gleich dem Quotienten aus den Mächtigkeiten des Ereignisses $E$ und des Ergebnisraums $\Omega$.
Bedeutung
$P(E)$= Wahrscheinlichkeit des Ereignisses$E$$|E|$= Anzahl der Elementarereignisse, bei denen$E$eintritt$|\Omega|$= Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse
Warnung
Die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt nur, wenn die Elementarereignisse bei dem jeweiligen Experiment gleich wahrscheinlich sind. Hat man jedoch Grund zur Annahme, dass die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind, darf die Formel nicht angewendet werden!
Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt
Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
Für den 1. und 2. Schritt braucht man die Kombinatorik.
Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal $K$ zu werfen?
Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
Variation mit Wiederholung: $n^k$
$$ |\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{$8$}} $$
Zusatzinformation
$$ \Omega = \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ\} $$
Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt
Kombination ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$
$$ |A| = \binom{3}{3} = {\colorbox{yellow}{$1$}} $$
Zusatzinformation
$$ A = \{KKK\} $$
Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
$$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{$1$}}}{{\colorbox{orange}{$8$}}} $$
Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zweimal $K$ zu werfen?
Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
Variation mit Wiederholung: $n^k$
$$ |\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{$8$}} $$
Zusatzinformation
$$ \Omega = \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ\} $$
Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt
Kombination ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$
$$ |B| = \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{$4$}} $$
Zusatzinformation
$$ B = \{KKZ, KZK, ZKK, \: KKK\} $$
Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
$$ P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{$4$}}}{{\colorbox{orange}{$8$}}} = \frac{1}{2} $$
Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal $K$ zu werfen?
Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
Variation mit Wiederholung: $n^k$
$$ |\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{$8$}} $$
Zusatzinformation
$$ \Omega = \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ\} $$
Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt
Kombination ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$
$$ |C| = \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{$7$}} $$
Zusatzinformation
$$ C = \{ZZK, ZKZ, KZZ, \: KZZ, KZK, ZKK, \: KKK\} $$
Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
$$ P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{$7$}}}{{\colorbox{orange}{$8$}}} $$
In obigen Beispielen hätte man die Mengen von $E$ und $\Omega$ auch – ohne Anwendung kombinatorischer Formeln – einfach abzählen können. In den meisten Aufgaben sind die Mengen allerdings so groß, dass ein Abzählen nicht möglich ist. Aus diesem Grund wurde auch in diesen einfachen Beispielen zu Übungszwecken auf die Kombinatorik zurückgegriffen.
