Wahrscheinlichkeitsverteilung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
Erforderliches Vorwissen
Einsatzzweck
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (kurz: Verteilung) gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariable verteilen.
Diskrete Verteilungen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable lässt sich durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder eine Verteilungsfunktion beschreiben.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.
Es gibt sechs mögliche Realisationen:
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$, $x_5 = 5$, $x_6 = 6$
Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
$$ p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6} $$
1) Wahrscheinlichkeitsfunktion
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{für } x = 1 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 2 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 3 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 4 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 5 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 6 \\[5px] 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $f(x) = P(X = x)$
2) Verteilungsfunktion
$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } 1 \le x < 2 \\[5px] \frac{2}{6} & \text{für } 2 \le x < 3 \\[5px] \frac{3}{6} & \text{für } 3 \le x < 4 \\[5px] \frac{4}{6} & \text{für } 4 \le x < 5 \\[5px] \frac{5}{6} & \text{für } 5 \le x < 6 \\[5px] 1 & \text{für } x \ge 6 \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $F(x) = P(X \le x)$
Beispiele für diskrete Verteilungen
- Binomialverteilung
- Hypergeometrische Verteilung
- Poisson-Verteilung
Stetige Verteilungen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable lässt sich durch eine Dichtefunktion oder eine Verteilungsfunktion beschreiben.
Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.
Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 2,5 und 4,5.
1) Dichtefunktion
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2{,}5 \\[5px] \frac{1}{2} & \text{für } 2{,}5 \le x \le 4{,}5 \\[5px] 0 & \text{für } x > 4{,}5 \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $f(x) \neq P(X = x)$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, ist stets Null.
Folglich gilt: $P(X = x) = 0$
Aus der Dichtefunktion selbst lassen sich keine Wahrscheinlichkeiten ablesen. Die Dichtefunktion hat nur die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln.
Bei stetigen Zufallsvariablen verwendet man deshalb zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich aus der Integration der Dichtefunktion:
$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$
Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen also der jeweiligen Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion.
Beispiele für stetige Verteilungen
- Normalverteilung
- Stetige Gleichverteilung
- Exponentialverteilung
Maßzahlen
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder durch eine
- Verteilungsfunktion oder eine
- Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei diskreten Zufallsvariablen) bzw. die Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen)
vollständig beschreiben.
Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u. a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
