Variation mit Wiederholung
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.
In diesem Kapitel schauen wir uns die Variation mit Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet:
Wie viele Möglichkeiten gibt es,
$\boldsymbol{k}$ Kugeln aus einer Urne mit $\boldsymbol{n}$ Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen ziehen?
Erforderliches Vorwissen
Definition
Bei einer Variation mit Wiederholung werden $k$ aus $n$ Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei Objekte auch mehrfach ausgewählt werden können.
Formel
$$ n^k $$
Herleitung
Wir wollen $k$ aus $n$ Objekten unter Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung (im Urnenmodell: mit Zurücklegen) auswählen.
Für das erste Objekt gibt es $n$ Auswahlmöglichkeiten. Da Objekte mehrfach ausgewählt werden dürfen, gibt es auch für das zweite, dritte und $k$-te Objekt ebenfalls $n$ Möglichkeiten. Dementsprechend gilt:
$$ n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^k $$
Zur Erinnerung: $n^k$ (sprich: n hoch k
) ist eine Potenz, also eine abkürzende Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.
Beispiele
In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen gezogen werden.
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
$$ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $$
Es gibt 125 Möglichkeiten 3 aus 5 Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen zu ziehen.
Beim Fußballtoto kann bei jedem der elf Spiele eine 1 (Heimmannschaft gewinnt), eine 0 (Unentschieden) oder eine 2 (Gastmannschaft gewinnt) angekreuzt werden.
Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es?
$$ 3^{11} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 177.147 $$
Es gibt 177.147 Tippmöglichkeiten beim Fußballtoto.
