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Pi berechnen (Teil 3)

Die Kreiszahl $\boldsymbol{\pi}$ (sprich: Pi) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von $\boldsymbol{\pi}$ berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Rechtecken basiert.

Erforderliches Vorwissen

Idee 

Im Kapitel Kreiszahl $\pi$ haben wir erfahren, dass gilt:

$$ \frac{A}{r^2} = \pi $$

Umstellen nach $A$ führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

$$ A = \pi \cdot r^2 $$

Ein Kreis mit einem Radius von $r = 1\ \textrm{LE}$ hat folglich einen Flächeninhalt von

$$ A = \pi \cdot (1\ \textrm{LE})^2 = \pi\ \textrm{LE}^2 $$

Einheitskreis
Abb. 1 / Einheitskreis 

Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit $r = 1\ \textrm{LE}$ näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für $\pi$ berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:

Untere Grenze

Die Kreisfläche ist größer als alle Rechtecke mit gleicher Breite, die im Inneren der Kreisfläche liegen.

Untere Grenze
Abb. 2 / Untere Grenze $U$ 

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als alle Rechtecke mit gleicher Breite, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

Obere Grenze
Abb. 3 / Obere Grenze $O$ 

Vereinfachung

Wie in den obigen beiden Abbildungen bereits dargestellt, betrachten wir im Folgenden der Einfachheit halber nicht den ganzen Kreis, sondern einen Viertelkreis. Durch Multiplikation mit $4$ können wir dann auf den ganzen Kreis schließen.

Viertelkreis
Abb. 4 / Viertelkreis 

Anleitung 

Breite $\boldsymbol{b}$ der Rechtecke festlegen

Höhen der Rechtecke berechnen

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

Lösungsintervall aufschreiben

Merke: Je kleiner die Breite $b$, desto genauer die Näherung!

Formeln 

Höhen 

Die Höhen der Rechtecke berechnen wir mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Nach Pythagoras gilt:

$$ h_1^2 + (1 \cdot b)^2 = r^2 $$

Umstellen nach $h_1$ ergibt

$$ h_1 = \sqrt{r^2 + (1 \cdot b)^2} $$

Höhe h1
Abb. 5 / Höhe $h_1$ 

Nach Pythagoras gilt:

$$ h_2^2 + (2 \cdot b)^2 = r^2 $$

Umstellen nach $h_2$ ergibt

$$ h_2 = \sqrt{r^2 + (2 \cdot b)^2} $$

Höhe h2
Abb. 6 / Höhe $h_2$ 

Nach Pythagoras gilt:

$$ h_3^2 + (3 \cdot b)^2 = r^2 $$

Umstellen nach $h_3$ ergibt

$$ h_3 = \sqrt{r^2 + (3 \cdot b)^2} $$

Höhe h3
Abb. 7 / Höhe $h_3$ 

Allgemein gilt:

$$ h_n = \sqrt{r^2 + (n \cdot b)^2} $$

$h_0$ entspricht übrigens dem Radius $r$. Merke: $h_0 = r$.

Untere Grenze 

Der ganze Kreis ist $4$ mal so groß wie der Viertelkreis:

$$ \begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + \ldots + U_n) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + \ldots + b \cdot h_n) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + \ldots + h_n) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^n h_n\right) \end{align*} $$

Untere Grenze
Abb. 8 / Untere Grenze $U$ 

Wir halten fest:

$$ U = 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^n h_n\right) $$

Obere Grenze 

Der ganze Kreis ist $4$ mal so groß wie der Viertelkreis:

$$ \begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + \ldots + O_n) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + \ldots + b \cdot h_{n-1}) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + \ldots + h_{n-1}) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^{n-1} h_n\right) \end{align*} $$

Obere Grenze
Abb. 9 / Obere Grenze $O$ 

Wegen $h_0 = r$ können wir festhalten:

$$ O = 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^{n-1} h_n\right) $$

Beispiel 

Näherungsschritt 1 

Beispiel 1 

Breite $\boldsymbol{b}$ der Rechtecke festlegen

$$ \begin{align*} b &= \frac{1}{2} \cdot r \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 1\ \textrm{LE} \\[5px] &= \frac{1}{2}\ \textrm{LE} \end{align*} $$

Breite der Rechtecke
Abb. 10 / Breite 

Höhen der Rechtecke berechnen

$$ h_0 = r = 1\ \textrm{LE} $$

$$ h_1 = \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{2})^2}\ \textrm{LE} $$

Höhen der Rechtecke
Abb. 11 / Höhen 

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

Es gibt $1$ Rechteck mit einer Breite von $b = \frac{1}{2}\ \textrm{LE}$, das im Inneren der Viertelkreisfläche liegt.

Untere Grenze
Abb. 12 / Untere Grenze $U$ 

$$ \begin{align*} U &= 4 \cdot U_1 \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot h_1 \\[5px] &= 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{2})^2} \ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 1{,}7321\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

Es gibt $2$ Rechtecke mit einer Breite von $b = \frac{1}{2}\ \textrm{LE}$, in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.

Obere Grenze
Abb. 13 / Obere Grenze $O$ 

$$ \begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1) \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \sqrt{1^2 - (\tfrac{1}{2})^2}\right) \ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 3{,}7321\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises $A_K$ ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche $U$, aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche $O$. Deshalb gilt:

$$ 1{,}7321\ \textrm{LE}^2 < A_K < 3{,}7321\ \textrm{LE}^2 $$

Flächeninhalt des Kreises
Abb. 14 / Flächeninhalt $A_K$ 

Näherungsschritt 2 

Beispiel 2 

Breite $\boldsymbol{b}$ der Rechtecke festlegen

$$ \begin{align*} b &= \frac{1}{4} \cdot r \\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot 1\ \textrm{LE} \\[5px] &= \frac{1}{4}\ \textrm{LE} \end{align*} $$

Breite der Rechtecke
Abb. 15 / Breite 

Höhen der Rechtecke berechnen

$$ h_0 = r = 1\ \textrm{LE} $$

$$ h_1 = \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{4})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_2 = \sqrt{1^2 - (2 \cdot \tfrac{1}{4})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_3 = \sqrt{1^2 - (3 \cdot \tfrac{1}{4})^2}\ \textrm{LE} $$

Höhen der Rechtecke
Abb. 16 / Höhen 

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

Es gibt $3$ Rechtecke mit einer Breite von $b = \frac{1}{4}\ \textrm{LE}$, die im Inneren der Viertelkreisfläche liegen.

Untere Grenze
Abb. 17 / Untere Grenze $U$ 

$$ \begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + U_3) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + h_3) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^3 h_n\right) \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\sum_{n=1}^3 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{4})^2}\right) \ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 2{,}4957\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

Es gibt $4$ Rechtecke mit einer Breite von $b = \frac{1}{4}\ \textrm{LE}$, in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.

Obere Grenze
Abb. 18 / Obere Grenze $O$ 

$$ \begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + O_3 + O_4) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + h_2 + h_3) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^3 h_n\right) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^3 h_n\right) \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(1 + \sum_{n=1}^3 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{4})^2}\right) \ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 3{,}4957\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises $A_K$ ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche $U$, aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche $O$. Deshalb gilt:

$$ 2{,}4957\ \textrm{LE}^2 < A_K < 3{,}4957\ \textrm{LE}^2 $$

Flächeninhalt des Kreises
Abb. 19 / Flächeninhalt $A_K$ 

Näherungsschritt 3 

Beispiel 3 

Breite $\boldsymbol{b}$ der Rechtecke festlegen

$$ \begin{align*} b &= \frac{1}{8} \cdot r \\[5px] &= \frac{1}{8} \cdot 1\ \textrm{LE} \\[5px] &= \frac{1}{8}\ \textrm{LE} \end{align*} $$

Breite der Rechtecke
Abb. 20 / Breite 

Höhen der Rechtecke berechnen

$$ h_0 = r = 1\ \textrm{LE} $$

$$ h_1 = \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_2 = \sqrt{1^2 - (2 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_3 = \sqrt{1^2 - (3 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_4 = \sqrt{1^2 - (4 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_5 = \sqrt{1^2 - (5 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_6 = \sqrt{1^2 - (6 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

$$ h_7 = \sqrt{1^2 - (7 \cdot \tfrac{1}{8})^2}\ \textrm{LE} $$

Höhen der Rechtecke
Abb. 21 / Höhen 

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

Es gibt $7$ Rechtecke mit einer Breite von $b = \frac{1}{8}\ \textrm{LE}$, die im Inneren der Viertelkreisfläche liegen.

Untere Grenze
Abb. 22 / Untere Grenze $U$ 

$$ \begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 + U_7) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3 + b \cdot h_4 + b \cdot h_5 + b \cdot h_6 + b \cdot h_7) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 + h_6 + h_7) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^7 h_n\right) \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(\sum_{n=1}^7 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{8})^2}\right) \ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 2{,}8398\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

Es gibt $8$ Rechtecke mit einer Breite von $b = \frac{1}{8}\ \textrm{LE}$, in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.

Obere Grenze
Abb. 23 / Obere Grenze $O$ 

$$ \begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + O_3 + O_4 + O_5 + O_6 + O_7 + O_8) \\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3 + b \cdot h_4 + b \cdot h_5 + b \cdot h_6 + b \cdot h_7) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 + h_6 + h_7) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^7 h_n\right) \\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^7 h_n\right) \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(1 + \sum_{n=1}^7 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{8})^2}\right) \ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 3{,}3398\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises $A_K$ ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche $U$, aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche $O$. Deshalb gilt:

$$ 2{,}8398\ \textrm{LE}^2 < A_K < 3{,}3398\ \textrm{LE}^2 $$

Flächeninhalt des Kreises
Abb. 24 / Flächeninhalt $A_K$ 

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