Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Verbindungsvektor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Verbindungsvektor ist.

Erforderliches Vorwissen

Problemstellung 

In vielen Aufgabenstellungen sind zwei Punkte gegeben und ihr Verbindungsvektor ist gesucht.

Definition 

Ein Vektor, der zwei beliebige Punkte $P$ und $Q$ miteinander verbindet, heißt Verbindungsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{PQ}}$ von $P$ und $Q$.

$\overrightarrow{PQ}$ ist die symbolische Schreibweise für den Vektor mit Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$.

Beispiel 1 

Gegeben sind zwei Punkte $P$ und $Q$.

Gesucht ist der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$.

Abb. 1 / Zwei Punkte 

$\overrightarrow{PQ}$ beschreibt den Vektor mit dem Anfangspunkt $P$ und dem Endpunkt $Q$.

Wir sagen: $\overrightarrow{PQ}$ (Vektor P Q) ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$.

Abb. 2 / Verbindungsvektor 

Beispiel 2 

Gegeben sind zwei Punkte $P$ und $Q$.

Gesucht ist der Verbindungsvektor $\overrightarrow{QP}$.

Abb. 3 / Zwei Punkte 

$\overrightarrow{QP}$ beschreibt den Vektor mit dem Anfangspunkt $Q$ und dem Endpunkt $P$.

Wir sagen: $\overrightarrow{QP}$ (Vektor Q P) ist der Verbindungsvektor von $Q$ und $P$.

Abb. 4 / Verbindungsvektor 

Gegenvektor

Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ unterscheidet sich vom Vektor $\overrightarrow{QP}$ nur durch seine Orientierung. (Umgangssprachlich: $\overrightarrow{QP}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\overrightarrow{PQ}$)

$\overrightarrow{QP}$ heißt Gegenvektor von $\overrightarrow{PQ}$.

Es gilt: $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$.

Vereinfachte Schreibweise

Wir können Schreibarbeit sparen, indem wir einen Verbindungsvektor einfach mit einem beliebigen Kleinbuchstaben bezeichnen. Dies ist durchaus sinnvoll, wenn wir uns daran erinnern, dass wir Vektoren beliebig parallel verschieben dürfen und es deshalb auf einen konkreten Anfangs- und Endpunkt eines Vektors nicht ankommt.

Beispiel 3 

$$ \vec{a} = \overrightarrow{PQ} $$

Verbindungsvektor berechnen 

Um die folgende Herleitung zu verstehen, solltest du zwei Sachen wissen:

  1. Wir können einen Vektor parallel verschieben, ohne dass sich seine Länge, Richtung und Orientierung ändert $\Rightarrow$ Eine Parallelverschiebung ändert nicht die Vektorkoordinaten!

  2. Ein Vektor mit Anfangspunkt im Ursprung $O(0|0)$ und Endpunkt $A$ heißt Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$. Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ hat dieselben Koordinaten wie sein Endpunkt $A$. Beispiel: $A(3|2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Herleitung

Gegeben sind die Punkte $P(2|4)$ und $Q(5|6)$.

Gesucht sind die Koordinaten von $\overrightarrow{PQ}$.

Abb. 5 / Verbindungsvektor 

Um die Koordinaten von $\overrightarrow{PQ}$ zu erhalten, wenden wir einen kleinen Trick an:

Wir verschieben den Vektor parallel, sodass er im Koordinatenursprung $O(0|0)$ beginnt.

Jetzt entsprechen die Koordinaten des Vektors den Koordinaten des Endpunktes $Q^{\prime}$:

$$ Q^{\prime}(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OQ^{\prime}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \overrightarrow{PQ} $$

Abb. 6 / Verschobener Verbindungsvektor 

Wir erkennen,…

…dass wir zu $P$ und $Q$ kommen, indem wir $O$ und $Q^{\prime}$ um den Vektor $\overrightarrow{OP}$ verschieben.

…dass $\overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}$ gilt. Dabei handelt es sich um eine Vektoraddition.

Abb. 7 / Verschiebungsvektor 

Die Gleichung $\overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}$ lösen wir nach $\overrightarrow{OQ^{\prime}}$ auf, indem wir von beiden Seiten der Gleichung den Vektor $\overrightarrow{OP}$ abziehen. Dabei handelt es sich um eine Äquivalenzumformung.

$$ \begin{align*} \overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP} &=\overrightarrow{OQ} &&{\color{gray}|-\overrightarrow{OP}}\\ \overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP}{\color{gray}\,-\,\overrightarrow{OP}} &=\overrightarrow{OQ}{\color{gray}\,-\,\overrightarrow{OP}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\ \overrightarrow{OQ^{\prime}} &=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} \end{align*} $$

Wegen $\overrightarrow{OQ^{\prime}} = \overrightarrow{PQ}$ gilt:

Formel

Der Verbindungsvektor von $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ berechnet sich zu

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} x_Q \\ y_Q \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_P \\ y_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_Q - x_P \\ y_Q - y_P \end{pmatrix} $$

Der Verbindungsvektor berechnet sich also nach der Formel Endpunkt minus Anfangspunkt.

Beispiel 4 

Gegeben sind $P(2|4)$ und $Q(5|6)$.

Gesucht ist $\overrightarrow{P{\color{red}Q}}$.

$$ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} {\color{red}5}-2 \\ {\color{red}6}-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$.

Abb. 8 / Verbindungsvektor berechnen 

Beispiel 5 

Gegeben sind $P(2|4)$ und $Q(5|6)$.

Gesucht ist $\overrightarrow{Q{\color{red}P}}$.

$$ \overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} {\color{red}2}-5 \\ {\color{red}4}-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$.

Abb. 9 / Verbindungsvektor berechnen 

Online-Rechner 

Verbindungsvektor online berechnen

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern