Baumdiagramm
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Baumdiagramm ist. Seltener werden dafür die Begriffe Wahrscheinlichkeitsbaum
oder Entscheidungsbaum
verwendet.
Erforderliches Vorwissen
Anwendung
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme zur Veranschaulichung mehrstufiger Zufallsexperimente eingesetzt.
Definition
Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt.
Beispiele
Aufgabenstellung
In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln
a) mit Zurücklegen
b) ohne Zurücklegen
Vorüberlegungen
| Ergebnisse | $\omega_1 = SS$, $\omega_2 = SW$, $\omega_3 = WS$, $\omega_4 = WW$ |
| Ergebnisraum | $\Omega = \{SS, SW, WS, WW\}$ |
| Elementarereignisse | $E_1 = \{SS\}$, $E_2 = \{SW\}$, $E_3 = \{WS\}$, $E_4 = \{WW\}$ |
Ziehen mit Zurücklegen
In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.
Zeichne ein Baumdiagramm und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
1. Ziehung
Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine schwarze Kugel zu ziehen, genau $\frac{4}{9}$.
Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach $\frac{5}{9}$.
Wir erkennen:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.
Für das obige Beispiel gilt: $\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1$.
Ziehen ohne Zurücklegen
In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.
Zeichne ein Baumdiagramm und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
1. Ziehung
Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau $\frac{4}{9}$.
Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach $\frac{5}{9}$.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine schwarze Kugel hat
Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne: 3 schwarze und 5 weiße.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine weiße Kugel hat
Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne: 4 schwarze und 4 weiße.
Wir erkennen:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.
Für das obige Beispiel gilt: $\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1$, $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1$ und $\frac{4}{8} + \frac{4}{8} = 1$.
Baumdiagramm und Pfadregeln
Im nächsten Kapitel lernen wir die Pfadregeln kennen. Die Pfadregeln helfen bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment.
Die Pfadregeln liefern – bezogen auf unser Beispiel – Anworten auf folgende Fragen:
1. Pfadregel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
zuerst eine schwarze und dann noch eine schwarze Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{SS\}) $$zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{SW\}) $$zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{WS\}) $$zuerst eine weiße und dann noch eine weiße Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{WW\}) $$
2. Pfadregel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
genau eine schwarze Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{SW,WS\}) $$genau eine weiße Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{SW,WS\}) $$mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{SW,WS,SS\}) $$mindestens eine weiße Kugel zu ziehen?
$$ \Rightarrow P(\{SW,WS,WW\}) $$
