Koordinatenform in Normalenform
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Koordinatenform in Normalenform umwandelt.
Einordnung
Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:
| Schwierigkeit | Zwischenform | |
|---|---|---|
| Parameterform in Normalenform | einfach | — |
| Normalenform in Koordinatenform | einfach | — |
| Parameterform in Koordinatenform | mittel | Normalenform |
| Koordinatenform in Parameterform | mittel | — |
| Normalenform in Parameterform | schwer | Koordinatenform |
| Koordinatenform in Normalenform | einfach | — |
Geradengleichung umwandeln
Eine Gerade lässt sich lediglich im $\mathbb{R}^2$ in Normalenform darstellen, weil es im $\mathbb{R}^3$ keinen eindeutigen Normalenvektor gibt.
Anleitung
Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ ablesen
Beliebigen Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ berechnen
$\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in die Normalenform einsetzen
Die Normalenform einer Gerade lautet $g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = 0$.
Um die Normalenform aufzustellen, brauchen wir also
- einen Normalenvektor
$\vec{n}$(Schritt 1) - einen Aufpunkt
$\vec{a}$(Schritt 2)
Beispiel
Gegeben ist eine Gerade in Koordinatenform
$$ g\colon\; 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 $$
Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ ablesen
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$ und $x_2$ in der Koordinatenform. Folglich gilt:
$$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$
Beliebigen Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ berechnen
Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Gerade verwenden.
Punkte, die auf der Gerade liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung $4x_1 + 3x_2 - 5 = 0$ erfüllen.
Wenn wir z. B. für $x_2$ gleich 1 einsetzen
$$ 4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 $$
$$ 4x_1 + 3 - 5 = 0 $$
$$ 4x_1 - 2 = 0 $$
und die Gleichung anschließend nach $x_1$ auflösen, erhalten wir
$$ 4x_1 - 2 = 0 \quad |+2 $$
$$ 4x_1 = 2 \quad :4 $$
$$ x_1 = 0{,}5 $$
Der Punkt $(0{,}5|1)$ liegt folglich auf der Gerade. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen:
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in die Normalenform einsetzen
$$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Ebenengleichung umwandeln
Anleitung
Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ ablesen
Beliebigen Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ berechnen
$\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in die Normalenform einsetzen
Die Normalenform einer Ebene lautet $E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = 0$.
Um die Normalenform aufzustellen, brauchen wir also
- einen Normalenvektor
$\vec{n}$(Schritt 1) - einen Aufpunkt
$\vec{a}$(Schritt 2)
Beispiel
Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform
$$ E\colon\; 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 $$
Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ ablesen
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in der Koordinatenform. Folglich gilt:
$$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 + {\color{red}2}x_3 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \\ {\color{red}2} \end{pmatrix} $$
Beliebigen Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ berechnen
Jetzt fehlt nur noch ein Aufpunkt. Einzige Bedingung ist, dass die Koordinaten des Aufpunkts die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen. Auf den ersten Blick sieht man, dass der Punkt $A$ mit den Koordinaten $(0|1|1)$ die Ebenengleichung erfüllt:
$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 5 = 0 $$
$\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in die Normalenform einsetzen
$$ E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
