Normalenform in Parameterform

Distributivgesetz anwenden

Distributivgesetz

$$ g\colon\; \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 $$

Ausmultiplizieren

Skalarprodukt

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 $$

$$ 4x_1 + 3x_2 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) = 0 $$

$$ 4x_1 + 3x_2 - 8 + 3 = 0 $$

$$ 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 $$

Die Koordinatenform der Gerade lautet folglich

$$ 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 = 5 $$

Koordinatenform nach $x_2$ auflösen

$$ 4x_1 + 3x_2 = 5 \quad |-4x_1 $$

$$ 3x_2 = 5 - 4x_1 \quad |:3 $$

$$ x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1 $$

$x_1$ durch $\lambda$ ersetzen

$$ x_1 = \lambda $$

$$ \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda $$

Parameterform aufstellen

Bevor wir die Parameterform aufstellen, schauen wir uns an, wie diese aussieht:

$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$

oder ausgeschrieben

$$ g\colon\; \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $$

Dabei gilt:

• $a_1$ und $a_2$ sind die Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
• $u_1$ und $u_2$ sind die Koordinaten des Richtungsvektors $\vec{u}$

Der Richtungsvektor lässt sich leicht von dem Aufpunkt unterscheiden: Vor dem Richtungsvektor steht ein Parameter (hier: $\lambda$).

$x_1$ und $x_2$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:

$$ x_1 = a_1 + \lambda \cdot u_1 $$

$$ x_2 = a_2 + \lambda \cdot u_2 $$

$x_1$ und $x_2$ setzen sich jeweils zusammen aus

• einer Koordinate des Aufpunkts und
• einer Koordinate des Richtungsvektors.

Zurück zu unserem Beispiel:

$$ x_1 = \lambda $$

$$ x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda $$

Diese beiden Zeilen müssen wir nun so umschreiben, dass wir

• die Koordinaten des Aufpunkts und
• die Koordinaten des Richtungsvektors ablesen können.

Schauen wir uns zuerst die $x_2$-Zeile an, da diese einfacher ist.

Die $x_2$-Zeile

$$ x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda $$

formen wir um zu

$$ x_2 = {\color{red}\frac{5}{3}} + \lambda \cdot ({\color{red}-\frac{4}{3}}) $$

Die $x_2$-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:

$$ x_2 = {\color{red}a_2} + \lambda \cdot {\color{red}u_2} $$

Jetzt betrachten wir die $x_1$-Zeile.

Die $x_1$-Zeile

$$ x_1 = \lambda $$

formen wir um zu

$$ x_1 = \lambda \cdot 1 $$

Die Koordinate des Richtungsvektors ist also $1$.

Und was ist mit der Koordinate des Aufpunkts? Da diese Koordinate in der Gleichung nicht vorkommt, ist sie gleich Null.

Die $x_1$-Zeile

$$ x_1 = \lambda \cdot 1 $$

können wir demnach umformen zu

$$ x_1 = {\color{red}0} + \lambda \cdot {\color{red}1} $$

Die $x_1$-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:

$$ x_1 = {\color{red}a_1} + \lambda \cdot {\color{red}u_1} $$

Wenn wir also die im 2. Schritt berechneten Zeilen

$$ x_1 = \lambda $$

$$ x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda $$

folgendermaßen umschreiben,

$$ \begin{array}{ccccc} x_1&=&{\color{red}0}&+&\lambda \cdot {\color{red}1}&\\ x_2&=&{\color{red}\frac{5}{3}}&+& \lambda \cdot ({\color{red}-\frac{4}{3}})&\\ \end{array} $$

fällt der Übergang zur Parameterform nicht mehr schwer

$$ g\colon\; \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}0} \\ {\color{red}\frac{5}{3}} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}1} \\ {\color{red}-\frac{4}{3}} \end{pmatrix} $$

Distributivgesetz anwenden

Distributivgesetz

$$ E\colon\; \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$

Ausmultiplizieren

Skalarprodukt

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$

$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) - (2 \cdot 0) = 0 $$

$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 8 + 3 - 0 = 0 $$

$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 $$

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5 $$

Koordinatenform nach $x_3$ auflösen

$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5 \quad | - 4x1 - 3x_2 $$

$$ 2x_3 = 5 - 4x1 - 3x_2 \quad |:2 $$

$$ x_3 = \frac{5}{2} - 2x_1 - \frac{3}{2}x_2 $$

$x_1$ durch $\lambda$ und $x_2$ durch $\mu$ ersetzen

$$ x_1 = \lambda $$

$$ x_2 = \mu $$

$$ \Rightarrow x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu $$

Parameterform aufstellen

Bevor wir die Parameterform aufstellen, schauen wir uns an, wie diese aussieht:

$$ E\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} $$

oder ausgeschrieben

$$ E\colon\; \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $$

Dabei gilt:

• $a_1$, $a_2$ und $a_3$ sind die Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
• $u_1$, $u_2$ und $u_3$ sind die Koordinaten des 1. Richtungsvektors $\vec{u}$
• $v_1$, $v_2$ und $v_3$ sind die Koordinaten des 2. Richtungsvektors $\vec{v}$

Ein Richtungsvektor lässt sich leicht von einem Aufpunkt unterscheiden: Vor einem Richtungsvektor steht ein Parameter (hier: $\lambda$ und $\mu$).

$x_1$, $x_2$ und $x_3$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:

$$ x_1 = a_1 + \lambda \cdot u_1 + \mu \cdot v_1 $$

$$ x_2 = a_2 + \lambda \cdot u_2 + \mu \cdot v_2 $$

$$ x_3 = a_3 + \lambda \cdot u_3 + \mu \cdot v_3 $$

$x_1$, $x_2$ und $x_3$ setzen sich jeweils zusammen aus

• einer Koordinate des Aufpunkts,
• einer Koordinate des 1. Richtungsvektors und
• einer Koordinate des 2. Richtungsvektors.

Zurück zu unserem Beispiel:

$$ x_1 = \lambda $$

$$ x_2 = \mu $$

$$ x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu $$

Diese drei Zeilen müssen wir nun so umschreiben, dass wir

• die Koordinaten des Aufpunkts,
• die Koordinaten des 1. Richtungsvektors und
• die Koordinaten des 2. Richtungsvektors ablesen können.

Schauen wir uns zuerst die $x_3$-Zeile an, da diese am einfachsten ist.

Die $x_3$-Zeile

$$ x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu $$

formen wir um zu

$$ x_3 = {\color{red}\frac{5}{2}} + \lambda \cdot ({\color{red}-2}) + \mu \cdot ({\color{red}-\frac{3}{2}}) $$

Die $x_3$-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:

$$ x_3 = {\color{red}a_3} + \lambda \cdot {\color{red}u_3} + \mu \cdot {\color{red}v_3} $$

Jetzt betrachten wir die $x_2$-Zeile.

Die $x_2$-Zeile

$$ x_2 = \mu $$

formen wir um zu

$$ x_2 = \mu \cdot 1 $$

Die Koordinate des 2. Richtungsvektors ist also $1$.

Und was ist mit der Koordinate des Aufpunkts und des 1. Richtungsvektors? Da diese Koordinaten in der Gleichung nicht vorkommen, sind sie gleich Null.

Die $x_2$-Zeile

$$ x_2 = \mu \cdot 1 $$

können wir demnach umformen zu

$$ x_2 = {\color{red}0} + \lambda \cdot {\color{red}0} + \mu \cdot {\color{red}1} $$

Die $x_2$-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:

$$ x_2 = {\color{red}a_2} + \lambda \cdot {\color{red}u_2} + \mu \cdot {\color{red}v_2} $$

Zu guter Letzt ist die $x_1$-Zeile dran.

Die $x_1$-Zeile

$$ x_1 = \lambda $$

formen wir um zu

$$ x_1 = \lambda \cdot 1 $$

Die Koordinate des 1. Richtungsvektors ist also $1$.

Und was ist mit der Koordinate des Aufpunkts und des 2. Richtungsvektors? Da diese Koordinaten in der Gleichung nicht vorkommen, sind sie gleich Null.

Die $x_1$-Zeile

$$ x_1 = \lambda \cdot 1 $$

können wir demnach umformen zu

$$ x_1 = {\color{red}0} + \lambda \cdot {\color{red}1} + \mu \cdot {\color{red}0} $$

Die $x_1$-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:

$$ x_1 = {\color{red}a_1} + \lambda \cdot {\color{red}u_1} + \mu \cdot {\color{red}v_1} $$

Wenn wir also die im 2. Schritt berechneten Zeilen

$$ x_1 = \lambda $$

$$ x_2 = \mu $$

$$ x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu $$

folgendermaßen umschreiben,

$$ \begin{array}{ccccccc} x_1&=&{\color{red}0}&+&\lambda \cdot {\color{red}1}&+&\mu \cdot {\color{red}0}\\ x_2&=&{\color{red}0}&+&\lambda \cdot {\color{red}0}&+&\mu \cdot {\color{red}1}\\ x_3&=&{\color{red}\frac{5}{2}}&+&\lambda \cdot ({\color{red}-2})&+&\mu \cdot ({\color{red}-\frac{3}{2}}) \end{array} $$

fällt der Übergang zur Parameterform nicht mehr schwer

$$ E\colon\; \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}0} \\ {\color{red}0} \\ {\color{red}\frac{5}{2}} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}1} \\ {\color{red}0} \\ {\color{red}-2} \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}0} \\ {\color{red}1} \\ {\color{red}-\frac{3}{2}} \end{pmatrix} $$