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Kreisausschnitt

In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt, Kreisabschnitt und Kreisring. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisausschnitt etwas genauer an.

Definition 

Gegeben sei eine ganze Kreisfläche.

Kreisfläche
Abb. 1 / Kreisfläche 

Jeder Teil der Kreisfläche, der von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt wird, heißt Kreisausschnitt oder Kreissektor.

Zwei Radien teilen die Kreisfläche in zwei Kreisausschnitte.

Kreisausschnitt 1
Abb. 2 / Kreisausschnitt 1 
Kreisausschnitt 2
Abb. 3 / Kreisausschnitt 2 

Ein Kreisausschnitt ist bildlich gesprochen ein Tortenstück des Kreises.

Kreisausschnitt berechnen 

Aus dem Kapitel zum Mittelpunktswinkel wissen wir, dass es zu jedem Kreisbogen $b$ genau einen Mittelpunktswinkel $\alpha$ gibt.

Wenn zum Flächeninhalt eines Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$ der Mittelpunktswinkel $\alpha$ gehört…

Flächeninhalt Kreisausschnitt entspricht Mittelpunktswinkel
Abb. 4 / $A_{\textrm{Kreisausschnitt}} \;\widehat{=}\; \alpha$ 

…dann gehört zum Flächeninhalt eines ganzen Kreises $A_{\textrm{Kreis}}$ der Vollwinkel $360^\circ$.

Flächeninhalt Kreis entspricht Vollwinkel
Abb. 5 / $A_{\textrm{Kreis}} \;\widehat{=}\; 360^\circ$ 

Diesen Zusammenhang können wir als Verhältnisgleichung ausdrücken:

$$ \frac{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}}{A_{\textrm{Kreis}}} = \frac{\alpha}{360^\circ} $$

Übersetzung

Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$ verhält sich zum Flächeninhalt des Kreises $A_{\textrm{Kreis}}$ wie der Mittelpunktswinkel $\alpha$ zum Vollwinkel $360^\circ$.

Mittelpunktswinkel und Flächeninhalt Kreis gegeben 

Formel 

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts erhalten wir, indem wir die Verhältnisgleichung nach $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$ umstellen:

$$ \begin{align*} \frac{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}}{A_{\textrm{Kreis}}} &= \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}|\cdot A_{\textrm{Kreis}}} \end{align*} $$

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\textrm{Kreis}} $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreis}}}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiel 

Beispiel 1 

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$, der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 45^\circ$ und einem Kreis mit dem Flächeninhalt $A_{\textrm{Kreis}} = 24\ \textrm{cm}^2$ gehört.

Formel aufschreiben

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\textrm{Kreis}} $$

Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreis}}}$ einsetzen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{45^\circ }{360^\circ} \cdot 24\ \textrm{cm}^2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = 3\ \textrm{cm}^2 $$

Anmerkung

$45^\circ$ ist $\frac{1}{8}$ von $360^\circ$. $\Rightarrow$ Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$ beträgt $\frac{1}{8}$ des Flächeninhalts des Kreises $A_{\textrm{Kreis}}$.

Mittelpunktswinkel und Radius gegeben 

Formel 

Einsetzen von $A_{\textrm{Kreis}} = \pi \cdot r^2$ in $A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\textrm{Kreis}}$ führt zu:

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiel 

Beispiel 2 

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$, der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 90^\circ$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 1\ \textrm{m}$ gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 $$

Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{90^\circ }{360^\circ} \cdot \pi \cdot (1\ \textrm{m})^2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} &= 0{,}785\ldots\ \textrm{m}^2 \\[5px] &\approx 0{,}79\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$

Mittelpunktswinkel und Durchmesser gegeben 

Formel 

Einsetzen von $A_{\textrm{Kreis}} = \frac{\pi}{4} \cdot d^2$ in $A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\textrm{Kreis}}$ führt zu:

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiel 

Beispiel 3 

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$, der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 30^\circ$ und einem Kreis mit dem Durchmesser $d = 2{,}5\ \textrm{km}$ gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$

Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{30^\circ }{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot (2{,}5\ \textrm{km})^2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} &= 0{,}40\ldots\ \textrm{km}^2 \\[5px] &\approx 0{,}4\ \textrm{km}^2 \end{align*} $$

Bogenlänge und Radius gegeben 

Formel 

Formel für die Bogenlänge nach $\alpha$ auflösen

$$ \begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|:(2\pi \cdot r)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{2\pi \cdot r} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot r} \end{align*} $$

Einsetzen von $\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot r}$ in $A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2$ führt zu:

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{b \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{360^\circ}}}}{2{\color{red}\cancel{\color{black}{\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{r}}}} \cdot \frac{1}{{\color{red}\cancel{\color{black}{360^\circ}}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{r}}} \cdot r $$

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiel 

Beispiel 4 

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$, der zu einem Kreisbogen der Länge $b = 10\ \textrm{cm}$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 4\ \textrm{cm}$ gehört.

Formel aufschreiben

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r $$

Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{1}{2} \cdot 10\ \textrm{cm} \cdot 4\ \textrm{cm} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = 20\ \textrm{cm}^2 $$

Bogenlänge und Durchmesser gegeben 

Formel 

Einsetzen von $r = \frac{1}{2}d$ in $A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$ führt zu:

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiel 

Beispiel 5 

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts $A_{\textrm{Kreisausschnitt}}$, der zu einem Kreisbogen der Länge $b = 8\ \textrm{m}$ und einem Kreis mit dem Durchmesser $d = 3\ \textrm{m}$ gehört.

Formel aufschreiben

$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d $$

Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{1}{4} \cdot 8\ \textrm{m} \cdot 3\ \textrm{m} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisausschnitt}}} = 6\ \textrm{m}^2 $$

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