Mittelpunktswinkel
Wer sich für besondere Winkel am Kreis interessiert, begegnet früher oder später dem Mittelpunktswinkel, dem Umfangswinkel und dem Sehnentangentenwinkel. In diesem Kapitel schauen wir uns den Mittelpunktswinkel etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
In vielen Aufgabenstellungen geht es aber nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen. Ein Kreisbogen wird von zwei Kreispunkten begrenzt.
Der Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises liegt und dessen Schenkel die Begrenzungspunkte des Kreisbogens schneiden, heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel.
Zu jedem Kreisbogen gibt es genau einen Mittelpunktswinkel.
Sonderfall 1
Der Mittelpunktswinkel über einen Halbkreisbogen ist ein gestreckter Winkel ($180^\circ$).
Sonderfall 2
Der Mittelpunktswinkel über einem Vollkreisbogen ist ein Vollwinkel ($360^\circ$).
Mittelpunktswinkel berechnen
Umfangswinkel gegeben
Formel
Laut Kreiswinkelsatz gilt:
$$ \alpha = 2 \cdot \beta $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{\beta}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu dem Umfangswinkel $\beta = 60^\circ$ gehört.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = 2 \cdot \beta $$
Wert für $\boldsymbol{\beta}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = 2 \cdot 60^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{\alpha} = 120^\circ $$
Kreisbogen und Umfang gegeben
Formel
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u $$
Formel nach $\alpha$ umstellen
$$ \begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u &= b &&{\color{gray}|:u} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{u} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b}{u} \cdot 360^\circ \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{u}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu einem Kreisbogen der Länge $b = 1{,}5\ \textrm{km}$ und einem Kreis mit dem Umfang $u = 9\ \textrm{km}$ gehört.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = \frac{b}{u} \cdot 360^\circ $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{u}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = \frac{ 1{,}5\ \textrm{km} }{ 9\ \textrm{km} } \cdot 360^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{\alpha} = 60\ldots^\circ $$
Kreisbogen und Radius gegeben
Formel
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r $$
Formel nach $\alpha$ umstellen
$$ \begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|:(2\pi \cdot r)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{2\pi \cdot r} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b}{2\pi \cdot r} \cdot 360^\circ \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu einem Kreisbogen der Länge $b = 3\ \textrm{cm}$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 5\ \textrm{cm}$ gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = \frac{b}{2\pi \cdot r} \cdot 360^\circ $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = \frac{3\ \textrm{cm}}{2\pi \cdot 5\ \textrm{cm}} \cdot 360^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{\alpha} &= 34{,}37\ldots^\circ \\[5px] &\approx 34{,}4^\circ \end{align*} $$
Kreisbogen und Durchmesser gegeben
Formel
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $$
Formel nach $\alpha$ umstellen
$$ \begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &= b &&{\color{gray}|:(\pi \cdot d)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{\pi \cdot d} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b}{\pi \cdot d} \cdot 360^\circ \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu einem Kreisbogen der Länge $b = 2\ \textrm{m}$ und einem Kreis mit dem Durchmesser $d = 4\ \textrm{m}$ gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = \frac{b}{\pi \cdot d} \cdot 360^\circ $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = \frac{2\ \textrm{m}}{\pi \cdot 4\ \textrm{m}} \cdot 360^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{\alpha} &= 57{,}295\ldots^\circ \\[5px] &\approx 57{,}30^\circ \end{align*} $$
Kreisausschnitt und Flächeninhalt gegeben
Formel
$$ A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\text{Kreis}} $$
Formel nach $\alpha$ umstellen
$$ \begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\text{Kreis}} &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\text{Kreis}} &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|: A_{\text{Kreis}}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{A_{\text{Kreis}}} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{A_{\text{Kreis}}} \cdot 360^\circ \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreis}}}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu einem Kreisausschnitt der Fläche $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 3\ \textrm{km}^2$ und einem Kreis mit dem Flächeninhalt $A_{\text{Kreis}} = 9\ \textrm{km}^2$ gehört.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{A_{\text{Kreis}}} \cdot 360^\circ $$
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreis}}}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = \frac{3 \ \textrm{km}^2}{9 \ \textrm{km}^2} \cdot 360^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{\alpha} = 120^\circ $$
Kreisausschnitt und Radius gegeben
Formel
$$ A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 $$
Formel nach $\alpha$ umstellen
$$ \begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:(\pi \cdot r^2)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{\pi \cdot r^2} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{\pi \cdot r^2} \cdot 360^\circ \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu einem Kreisausschnitt der Fläche $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 3\ \textrm{cm}^2$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 5\ \textrm{cm}$ gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{\pi \cdot r^2} \cdot 360^\circ $$
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = \frac{3\ \textrm{cm}^2}{\pi \cdot (5\ \textrm{cm})^2} \cdot 360^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{\alpha} &= 41{,}25\ldots^\circ \\[5px] &\approx 41{,}3^\circ \end{align*} $$
Kreisausschnitt und Durchmesser gegeben
Formel
$$ A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$
Formel nach $\alpha$ umstellen
$$ \begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:(\tfrac{\pi}{4} \cdot d^2)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{\frac{\pi}{4} \cdot d^2} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{\frac{\pi}{4} \cdot d^2} \cdot 360^\circ \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$, der zu einem Kreisausschnitt der Fläche $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 10\ \textrm{m}^2$ und einem Kreis mit dem Durchmesser $d = 6\ \textrm{m}$ gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ \alpha = \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{\frac{\pi}{4} \cdot d^2} \cdot 360^\circ $$
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{\alpha} = \frac{10\ \textrm{m}^2}{\frac{\pi}{4} \cdot (6\ \textrm{m})^2} \cdot 360^\circ $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{\alpha} &= 127{,}323\ldots^\circ \\[5px] &\approx 127{,}32^\circ \end{align*} $$
