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Sehnentangenten­winkel

Wer sich für besondere Winkel am Kreis interessiert, begegnet früher oder später dem Mittelpunktswinkel, dem Umfangswinkel und dem Sehnentangentenwinkel. In diesem Kapitel schauen wir uns den Sehnentangentenwinkel etwas genauer an.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Gegeben seien zwei Umfangswinkel über dem Kreisbogen $\overset{\frown}{AB}$.

Wir verschieben die Scheitelpunkte der beiden Winkel so, dass sie mit den Begrenzungspunkten $A$ und $B$ des Kreisbogens zusammenfallen.

Umfangswinkel
Abb. 1 / Umfangswinkel 

Verschiebung 1

Umfangswinkel nach Verschiebung 1
Abb. 2 / Umfangswinkel nach Verschiebung 1 

Verschiebung 2

Umfangswinkel nach Verschiebung 2
Abb. 3 / Umfangswinkel nach Verschiebung 2 

Sobald der Scheitelpunkt mit dem Begrenzungspunkt zusammenfällt, wird ein Schenkel zur Sehne $[AB]$ und der andere Schenkel zur Tangente im Begrenzungspunkt. Die Tangente steht auf dem Berührradius senkrecht.

Der Winkel zwischen der Sehne $[AB]$ und der Tangente in $A$ (oder $B$), heißt Sehnentangentenwinkel über dem eingeschlossenen Kreisbogen.

Zu jedem Kreisbogen gibt es genau zwei Sehnentangentenwinkel.

Sehnentangentenwinkel AB
Abb. 4 / Sehnentangentenwinkel über dem Kreisbogen $\overset{\frown}{AB}$ 
Sehnentangentenwinkel BA
Abb. 5 / Sehnentangentenwinkel über dem Kreisbogen $\overset{\frown}{BA}$ 

Sehnentangenten­winkelsatz 

Jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist genauso groß wie alle zugehörigen Umfangswinkel.

Sehnentangentenwinkelsatz
Abb. 6 / Sehnentangentenwinkelsatz 

Aus dem Kreiswinkelsatz folgt:

Jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Folgerung aus dem Sehnentangentenwinkelsatz
Abb. 7 / Folgerung aus dem Sehnentangentenwinkelsatz 

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