Verhältnisgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Verhältnisgleichungen sind.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Verhältnisgleichungen sind Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen:
$$ a:b = c:d \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Häufig verwendet man statt Verhältnisgleichungen
auch den Fachbegriff Proportionen.
Bezeichnungen
Die Glieder der Verhältnisgleichung werden nach ihrer Stellung innerhalb der Gleichung benannt:
- Außenglieder (
$a$und$d$) und Innenglieder ($b$und$c$) - Vorderglieder (
$a$und$c$) und Hinterglieder ($b$und$d$)
Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder:
$$ \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} \quad \text{(Produktgleichung der Proportion)} $$
Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, lässt sich das vierte Glied berechnen.
Äquivalente Umformungen
In jeder Proportion darf man
a) die beiden Seiten miteinander
$$ {\color{green}\frac{a}{b}} = {\color{red}\frac{c}{d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{red}\frac{c}{d}} = {\color{green}\frac{a}{b}} $$
b) die Innenglieder untereinander
$$ \frac{a}{{\color{green}b}} = \frac{{\color{red}c}}{d} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{{\color{red}c}} = \frac{{\color{green}b}}{d} $$
c) die Außenglieder untereinander
$$ \frac{{\color{green}a}}{b} = \frac{c}{{\color{red}d}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{{\color{red}d}}{b} = \frac{c}{{\color{green}a}} $$
d) die Innenglieder gegen die Außenglieder
$$ \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{green}c}}{{\color{red}d}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{{\color{red}b}}{{\color{green}a}} = \frac{{\color{red}d}}{{\color{green}c}} $$
vertauschen.
Verhältnisgleichungen lösen
Jede Verhältnisgleichung lässt sich zu einer linearen Gleichung umformen.
Lineare Gleichungen lösen wir gewöhnlich mittels Äquivalenzumformungen.
Der Einfachheit halber lassen wir im Folgenden die Maßeinheiten beim Rechnen weg.
Ein Fernseher mit dem Seitenverhältnis $16:9$ (Bildbreite zu Bildhöhe) ist $80\ \textrm{cm}$ breit.
Wie hoch ist der Bildschirm?
Gegeben: Verhältnis Bildbreite zu Bildhöhe, Bildbreite
Gesucht: Bildhöhe
Es verhält sich $16$ zu $9$ wie Bildbreite ($80\ \textrm{cm}$) zu Bildhöhe ($x\ \textrm{cm}$).
Ansatz: $\frac{16}{9} = \frac{80}{x}$ (sprich: 16 zu 9 wie 80 zu x
)
$$ \begin{align*} \frac{16}{9} &= \frac{80}{x} &&{\color{gray}| \cdot x} \\[5px] x \cdot \frac{16}{9} &= 80 &&{\color{gray}| :\frac{16}{9}} \\[5px] x &= 80 : \frac{16}{9} \\[5px] x &= 80 \cdot \frac{9}{16} \\[5px] x &= 45 \end{align*} $$
Der Bildschirm des Fernsehers ist $45\ \textrm{cm}$ hoch.
Unser Nachbar rührt Beton an: Er mischt Zement und Kies im Verhältnis $1:4$.
Wie viel Zement braucht er, wenn er $32\ \textrm{kg}$ Kies zur Verfügung hat?
Gegeben: Verhältnis Zement zu Kies, Kiesmenge
Gesucht: Zementmenge
Es verhält sich $1$ zu $4$ wie Zement ($x\ \textrm{km}$) zu Kies ($32\ \textrm{kg}$).
Ansatz: $\frac{1}{4} = \frac{x}{32}$ (sprich: 1 zu 4 wie x zu 32
)
$$ \begin{align*} \frac{1}{4} &= \frac{x}{32} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{x}{32} &= \frac{1}{4} &&{\color{gray}| \cdot 32} \\[5px] x &= \frac{1}{4} \cdot 32 \\[5px] x &= 8 \end{align*} $$
Unser Nachbar benötigt $8\ \textrm{kg}$ Zement.
Bei Verhältnisgleichungen kommt es häufig vor, dass das Verhältnis der beiden Größen in nicht gekürzter Form vorliegt. Das Vorgehen ändert sich dadurch nicht, wie folgende Beispiele zeigen:
Opa Horst hat sich in einem Elektrofachgeschäft einen neuen Fernseher gekauft.
Sein alter Fernseher war $60\ \textrm{cm}$ breit und $45\ \textrm{cm}$ hoch. Der neue ist $100\ \textrm{cm}$ breit.
Wie hoch ist der neue Fernseher, wenn das Seitenverhältnis gleich geblieben ist?
Gegeben: Verhältnis Bildbreite zu Bildhöhe, Bildbreite
Gesucht: Bildhöhe
Es verhält sich Breite$_{\text{alt}}$ ($60\ \textrm{cm}$) zu Höhe$_{\text{alt}}$ ($45\ \textrm{cm}$) wie Breite$_{\text{neu}}$ ($100\ \textrm{cm}$) zu Höhe$_{\text{neu}}$ ($x\ \textrm{cm}$).
Ansatz: $\frac{60}{45} = \frac{100}{x}$ (sprich: 60 zu 45 wie 100 zu x
)
$$ \begin{align*} \frac{60}{45} &= \frac{100}{x} &&{\color{gray}| \cdot x} \\[5px] x \cdot \frac{60}{45} &= 100 &&{\color{gray}| :\frac{60}{45}} \\[5px] x &= 100 : \frac{60}{45} \\[5px] x &=100 \cdot \frac{45}{60} \\[5px] x &= 75 \end{align*} $$
Der neue Fernseher ist $75\ \textrm{cm}$ hoch.
Für eine Betonmauer im Garten mischt Herr Hans $5\ \textrm{kg}$ Zement mit $20\ \textrm{kg}$ Kies.
Sein Nachbar Herr Otto möchte eine etwas größere Betonmauer bauen.
Er weiß, dass er dazu $26\ \textrm{kg}$ Kies benötigt.
Wie viel Zement braucht Herr Otto, wenn das Mischverhältnis dasselbe wie bei Herrn Hans sein soll?
Gegeben: Verhältnis Zement zu Kies, Kiesmenge
Gesucht: Zementmenge
Es verhält sich Zement$_{\text{Hans}}$ ($5\ \textrm{kg}$) zu Kies$_{\text{Hans}}$ ($20\ \textrm{kg}$) wie Zement$_{\text{Otto}}$ ($x\ \textrm{kg}$) zu Kies$_{\text{Otto}}$ ($26\ \textrm{kg}$).
Ansatz: $\frac{5}{20} = \frac{x}{26}$ (sprich: 5 zu 20 wie x zu 26
)
$$ \begin{align*} \frac{5}{20} &= \frac{x}{26} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{x}{26} &= \frac{5}{20} &&{\color{gray}| \cdot 26} \\[5px] x &= \frac{5}{20} \cdot 26 \\[5px] x &= 6{,}5 \end{align*} $$
Herr Otto benötigt $6{,}5\ \textrm{kg}$ Zement.
In vielen Aufgabenstellungen zu den Verhältnisgleichungen kommt das Wort Maßstab
vor.
Das Verhältnis zwischen der abgebildeten Größe auf einer Karte oder in einem Modell und der entsprechenden Größe in der Realität heißt Maßstab.
Eine Landkarte im Maßstab $1:5000$ stellt die Realität $5000$ mal kleiner dar.
$\Rightarrow$ $1\ \textrm{cm}$ auf der Karte entspricht $5.000\ \textrm{cm}$ in der Realität
$\Rightarrow$ $10\ \textrm{cm}$ auf der Karte entsprechen $50.000\ \textrm{cm}$ in der Realität
Opa Fritz möchte das Lieblingsauto seines Enkels Sebastian als Modell nachbauen.
Das Auto ist in der Realität
, erzählt der Enkel seinem Opa begeistert.$500\ \textrm{cm}$ lang
Wie lang wird das Modellauto, wenn Opa Fritz das Modell im Maßstab $1:25$ anfertigt?
Gegeben: Maßstab (= Verhältnis Modelllänge zu Naturlänge), Naturlänge
Gesucht: Modelllänge
Idee: Länge$_{\text{Modell}}$ ($1\ \textrm{cm}$) zu Länge$_{\text{Natur}}$ ($25\ \textrm{cm}$) wie Länge$_{\text{Modell}}$ ($x\ \textrm{cm}$) zu Länge$_{\text{Natur}}$ ($500\ \textrm{cm}$).
Ansatz: $\frac{1}{25} = \frac{x}{500}$ (sprich: 1 zu 25 wie x zu 500
)
$$ \begin{align*} \frac{1}{25} &= \frac{x}{500} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{x}{500} &= \frac{1}{25} &&{\color{gray}| \cdot 500} \\[5px] x &= \frac{1}{25} \cdot 500 \\[5px] x &= 20 \end{align*} $$
Das Modell wird $20\ \textrm{cm}$ lang.
Alternativer Ansatz
Ein anderer Ansatz ergibt sich z. B. indem wir die Innenglieder untereinander vertauschen:
Idee: Länge$_{\text{Modell}}$ ($1\ \textrm{cm}$) zu Länge$_{\text{Modell}}$ ($x\ \textrm{cm}$) wie Länge$_{\text{Natur}}$ ($25\ \textrm{cm}$) zu Länge$_{\text{Natur}}$ ($500\ \textrm{cm}$).
Ansatz: $\frac{1}{x} = \frac{25}{500}$
Luisa und ihre Freundin Sarah sind zum ersten Mal zum Shopping in Berlin.
Auf ihrem Stadtplan ist ihr Ziel, der Kurfürstendamm, genau $15\ \textrm{cm}$ entfernt.
Wie lang ist die Strecke in Wirklichkeit, wenn der Maßstab der Karte $1:10000$ ist?
Gegeben: Maßstab (= Verhältnis Kartenstrecke zu Naturstrecke), Kartenstrecke
Gesucht: Naturstrecke
Idee: Strecke$_{\text{Karte}}$ ($1\ \textrm{cm}$) zu Strecke$_{\text{Natur}}$ ($10000\ \textrm{cm}$) wie Strecke$_{\text{Karte}}$ ($15\ \textrm{cm}$) zu Strecke$_{\text{Natur}}$ ($x\ \textrm{cm}$)
Ansatz: $\frac{1}{10000} = \frac{15}{x}$ (sprich: 1 zu 10000 wie 15 zu x
)
$$ \begin{align*} \frac{1}{10000} &= \frac{15}{x} &&{\color{gray}| \cdot x} \\[5px] x \cdot \frac{1}{10000} &= 15 &&{\color{gray}| :\frac{1}{10000}} \\[5px] x &= 15 : \frac{1}{10000} \\[5px] x &= 15 \cdot \frac{10000}{1} \\[5px] x &= 150000 \end{align*} $$
In Wirklichkeit ist die Strecke $150000\ \textrm{cm}$ (= $1500\ \textrm{m}$) lang.
Alternativer Ansatz
Ein anderer Ansatz ergibt sich z. B. indem wir die Innenglieder untereinander vertauschen:
Idee: Strecke$_{\text{Karte}}$ ($1\ \textrm{cm}$) zu Strecke$_{\text{Karte}}$ ($15\ \textrm{cm}$) wie Strecke$_{\text{Natur}}$ ($10000\ \textrm{cm}$) zu Strecke$_{\text{Natur}}$ ($x\ \textrm{cm}$)
Ansatz: $\frac{1}{15} = \frac{10000}{x}$
Offenbar gibt es stets mehrere Wege, eine Verhältnisgleichung zu lösen.
Auch interessant:
Ein beliebtes Lösungsverfahren für Verhältnisgleichungen ist der Dreisatz.
Die zeitintensive Anwendung des Dreisatzes kann man sich sparen, wenn man weiß, wie man eine Verhältnisgleichung aufstellt und diese durch einfache mathematische Operationen löst.
