Dreisatz
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Dreisatz ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Der Dreisatz ist ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben.
Wir kennen zwei Arten von Proportionalität:
- Direkte Proportionalität (Proportionale Zuordnung)
- Indirekte Proportionalität (Antiproportionale Zuordnung)
Anleitung
Die Bezeichnung Dreisatz
kommt daher, dass die Lösung in drei Schritten berechnet wird:
Bekannt: Welche Daten sind bekannt?
Folgerung: Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?
Schluss: Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?
Beispiele
Proportionale Zuordnung
$25\ \textrm{kg}$ Reis kosten $100\ \textrm{€}$.
Wie viel kosten $10\ \textrm{kg}$ Reis?
Vorüberlegungen
Es sind zwei Größen gegeben: Gewicht
und Preis
.
Zwischen Gewicht
und Preis
besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr (Gewicht), desto mehr (Preis)
- Je weniger (Gewicht), desto weniger (Preis)
Welche Daten sind bekannt?
Die Informationen aus der Aufgabenstellung schreiben wir übersichtlich in eine Tabelle:
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Reis (kg)} & & \text{Preis (€)} & \\ \hline 25 & & 100 & \\ & & & \\ 10 & & x & \end{array} $$
$25\ \textrm{kg}$ verhält sich zu $100\ \textrm{€}$ wie $10\ \textrm{kg}$ zu $x\ \textrm{€}$.
Wie viel kostet $\boldsymbol{1\ \textbf{kg}}$?
Wir wissen, dass $25\ \textrm{kg}$ Reis $100\ \textrm{€}$ kosten. Wie viel kosten $10\ \textrm{kg}$ Reis?
In einem Zwischenschritt berechnen wir, wie viel $1\ \textrm{kg}$ Reis kostet.
Um von $25\ \textrm{kg}$ zu $1\ \textrm{kg}$ zu kommen, müssen wir durch $25$ dividieren. Da es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt, wird auch der Preis durch $25$ dividiert:
Je weniger (Gewicht), desto weniger (Preis) $\Rightarrow$ Division
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Reis (kg)} & & \text{Preis (Euro)} & \\ \hline 25 & :{\color{red}25} & 100 & :{\color{red}25}\\ 1 & & \frac{100}{{\color{red}25}} & \\ 10 & & x & \end{array} $$
$1\ \textrm{kg}$ Reis kostet $\frac{100}{{\color{red}25}} = 4\ \textrm{€}$.
Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?
Nachdem wir den Preis für $1\ \textrm{kg}$ (= Übergangswert) berechnet haben, fällt es uns leicht, den Preis einer beliebigen Menge Reis (z. B. $1{,}5\ \textrm{kg}$; $5\ \textrm{kg}$; $143{,}6\ \textrm{kg}$…) zu berechnen.
Wir interessieren uns in diesem Beispiel für den Preis von $10\ \textrm{kg}$ Reis.
Um von $1\ \textrm{kg}$ zu $10\ \textrm{kg}$ zu kommen, müssen wir mit $10$ multiplizieren. Da es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt, wird auch der Preis mit $10$ multipliziert:
Je mehr (Gewicht), desto mehr (Preis) $\Rightarrow$ Multiplikation
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Reis (kg)} & & \text{Preis (€)} & \\ \hline 25 & :25 & 100 & :25 \\ 1 & \cdot {\color{green}10} & \frac{100}{25} & \cdot {\color{green}10} \\ 10 & & \frac{{\color{green}10} \cdot 100}{25} & \end{array} $$
$10\ \textrm{kg}$ Reis kosten $\frac{{\color{green}10} \cdot 100}{25} = 40\ \textrm{€}$.
Antiproportionale Zuordnung
$2$ Personen brauchen für eine Arbeit (z. B. Rasenmähen) $12$ Stunden.
Wie lange brauchen $6$ Personen für diese Arbeit?
Vorüberlegungen
Zwischen Personen
und Stunden
besteht ein antiproportionaler Zusammenhang:
- Je mehr Personen, desto weniger Stunden werden benötigt
- Je weniger Personen, desto mehr Stunden werden benötigt
Welche Daten sind bekannt?
Die Informationen aus der Aufgabenstellung schreiben wir übersichtlich in eine Tabelle:
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Personen} & & \text{Stunden} & \\ \hline 2 & & 12 & \\ & & & \\ 6 & & x & \end{array} $$
$2$ Personen verhalten sich zu $12$ Arbeitsstunden wie $6$ Personen zu $x$ Arbeitsstunden.
Wie lange braucht $\boldsymbol{1}$ Person?
Wir wissen, dass $2$ Personen $12$ Arbeitsstunden brauchen. Wie lange brauchen $6$ Personen?
In einem Zwischenschritt berechnen wir, wie lange $1$ Person braucht.
Um von $2$ Personen zu $1$ Person zu kommen, müssen wir durch $2$ dividieren. Da es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt, werden die Stunden mit $2$ multipliziert:
Je weniger (Personen), desto mehr (Stunden) $\Rightarrow$ Multiplikation
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Personen} & & \text{Stunden} & \\ \hline 2 & :{\color{red}2} & 12 & \cdot {\color{green}2} \\ 1 & & {\color{green}2} \cdot 12 & \\ 6 & & x & \end{array} $$
$1$ Person braucht ${\color{green}2} \cdot 12 = 24$ Stunden.
Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?
Nachdem wir die Arbeitsstunden für $1$ Person (= Übergangswert) berechnet haben, fällt es uns leicht, die zu leistenden Arbeitsstunden einer beliebigen Anzahl von Personen zu berechnen.
Wir interessieren uns in diesem Beispiel für die Zahl der Stunden, die $6$ Personen benötigen.
Um von $1$ Person zu $6$ Personen zu kommen, müssen wir mit $6$ multiplizieren. Da es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt, werden die Stunden durch $6$ dividiert:
Je mehr (Personen), desto weniger (Stunden) $\Rightarrow$ Division
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Personen} & & \text{Stunden} & \\ \hline 2 & :2 & 12 & \cdot 2 \\ 1 & \cdot {\color{green}6} & 2 \cdot 12 & :{\color{red}6} \\ 6 & & \frac{2 \cdot 12}{{\color{red}6}} & \end{array} $$
$6$ Personen brauchen $\frac{2 \cdot 12}{{\color{red}6}} = 4$ Stunden.
Übergangswert: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Bislang haben wir uns im 2. Schritt gefragt:Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?
Als Übergangswert ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) meist besser geeignet.
$25\ \textrm{kg}$ Reis kosten $100\ \textrm{€}$.
Wie viel kosten $10\ \textrm{kg}$ Reis?
Übergangswert = 1
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Reis (kg)} & & \text{Preis (€)} & \\ \hline 25 & :25 & 100 & :25 \\ {\colorbox{yellow}{$1$}} & \cdot 10 & \frac{100}{25} & \cdot 10 \\ 10 & & \frac{10 \cdot 100}{25} & \end{array} $$
$10\ \textrm{kg}$ Reis kosten $\frac{10 \cdot 100}{25} = 40\ \textrm{€}$.
Übergangswert = ggT
$$ \text{ggT}(25;10) = {\colorbox{orange}{$5$}} $$
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Reis (kg)} & & \text{Preis (€)} & \\ \hline 25 & :5 & 100 & :5 \\ {\colorbox{orange}{$5$}} & \cdot 2 & \frac{100}{5} & \cdot 2 \\ 10 & & \frac{2 \cdot 100}{5} & \end{array} $$
$10\ \textrm{kg}$ Reis kosten $\frac{2 \cdot 100}{5} = 40\ \textrm{€}$.
Verwenden wir in diesem Beispiel den größten gemeinsamen Teiler als Übergangswert, vereinfacht sich die Berechnung folgendermaßen: Division durch $5$ statt durch $25$, Multiplikation mit $2$ statt mit $10$. Vor allem bei komplizierten Aufgaben, die man ohne Taschenrechner lösen muss, macht sich diese Vereinfachung deutlich bemerkbar.
$2$ Personen brauchen für eine Arbeit (z. B. Rasenmähen) $12$ Stunden.
Wie lange brauchen $6$ Personen für diese Arbeit?
Übergangswert = 1
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Personen} & & \text{Stunden} & \\ \hline 2 & :2 & 12 & \cdot 2 \\ {\colorbox{yellow}{$1$}} & \cdot 6 & 2 \cdot 12 & :6 \\ 6 & & \frac{2 \cdot 12}{6} & \end{array} $$
$6$ Personen brauchen $\frac{2 \cdot 12}{6} = 4$ Stunden.
Übergangswert = ggT
$$ \text{ggT}(2;6) = {\colorbox{orange}{$2$}} $$
$$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Personen} & & \text{Stunden} & \\ \hline {\colorbox{orange}{$2$}} & \cdot 3 & 12 & :3 \\ -&-&-&-\\ 6 & & \frac{12}{3} & \end{array} $$
$6$ Personen brauchen $\frac{12}{3} = 4$ Stunden.
Verwenden wir in diesem Beispiel den größten gemeinsamen Teiler als Übergangswert, vereinfacht sich die Berechnung folgendermaßen: Der 2. Schritt fällt komplett weg!
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Dreisatz ein einfaches Verfahren zur Berechnung von Proportionalaufgaben ist. Für praktische Berechnungen (z. B. bei Klausuren) empfiehlt es sich, die einzelnen Schritte in einer Tabelle darzustellen. Diese Art der Darstellung ist übersichtlich und spart Zeit. Darüber hinaus sollte man im 2. Schritt des Dreisatzes den größten gemeinsamen Teiler als Übergangswert verwenden.
Um die Schwierigkeit zu erhöhen, werden oftmals zwei oder mehr Dreisätze ineinander verschachtelt. Mehr zu diesem Thema im nächsten Kapitel: Zusammengesetzter Dreisatz.
