Winkelgröße
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Größe eines Winkels ist.
Erforderliches Vorwissen
Problemstellung
Viele Schülerinnen und Schüler haben ein völlig falsches Verständnis von der Winkelgröße. Um der Wahrheit auf den Grund zu gehen, werfen wir einen Blick in ein deutsches Klassenzimmer:
Der junge und gut aussehende Mathelehrer Herr Schneider zeichnet zwei Winkel an die Tafel, beschriftet sie mit $\alpha$ und $\beta$ und stellt dann folgende Frage: Ist
$\alpha$ größer als $\beta$, kleiner als $\beta$ oder vielleicht sogar gleich $\beta$?
Vermutung 1: Längere Schenkel gleich größerer Winkel
Madeleine Z. aus der ersten Reihe meldet sich und äußert ihre Vermutung: Die Schenkel von
$\alpha$ sind deutlich länger als die von $\beta$. Aus diesem Grund ist $\alpha$ natürlich größer. Logisch, oder?
Herr Schneider: Das ist leider falsch, Madeleine. Die Länge der Schenkel hat mit der Winkelgröße nichts zu tun. Die Schenkel kannst du grundsätzlich in beliebiger Länge zeichnen.
Die Länge der Schenkel hat keinen Einfluss auf die Winkelgröße.
Vermutung 2: Längerer Kreisbogen gleich größerer Winkel
Ernesto Y. aus der letzten Reihe fasste sich kopfschüttelnd an die Stirn, als Madeleine ihre Antwort gegeben hat. Das ist Herrn Schneider natürlich nicht entgangen, weshalb er ihn sofort aufruft: Ernesto, ich habe den Eindruck, dass du uns bei der Problemlösung helfen kannst.
Ernesto Y.: Das ist doch total easy! Der Kreisbogen von
$\beta$ ist doch viel länger der von $\alpha$. Ich schätze, dass $\beta$ mindestens doppelt so groß ist wie $\alpha$. Jetzt mal ohne Übertreibung…für diesen kreativen Beitrag habe ich mir doch eine 1 im Mündlichen verdient, nicht wahr Herr Schneider?
Herr Schneider: Ich muss dich leider enttäuschen, Ernesto. Ebenso wie die Schenkellängen habe ich die Radien der Kreisbögen völlig willkürlich gewählt. Den Kreisbogen kannst du einzeichnen, wie du willst. Die Größe des Winkels veränderst du dadurch nicht.
Die Länge des Kreisbogens hat keinen Einfluss auf die Winkelgröße.
Vermutung 3: Ohne Messung kein eindeutiges Ergebnis
Herr Schneider blickt in betretene Gesichter. Nur Panfilon Strebermann sitzt entspannt mit seiner 5 cm dicken Hornbrille vor dem Lehrerpult. Nach einem Moment der Stille meldet er sich.
Herr Schneider: Panfilon, vielleicht kannst du uns helfen.
Panfilon S.: Ich würde sagen, dass die Winkel gleich groß sind. Um meine Hypothese zu bestätigen, müsste ich aber den Richtungsunterschied der beiden Schenkel messen.
Herr Schneider nickt kurz und schreibt dann an die Tafel:
Definition
Die Winkelgröße entspricht dem Richtungsunterschied der Schenkel.
Darunter zeichnet er folgende Abbildung und erklärt:
Ein Winkel erinnert mich immer ein bisschen an ein Krokodilmaul. Normalerweise liegen Unter- und Oberkiefer entspannt aufeinander. Wenn das Krokodil allerdings eine Beute packen will, öffnet es schnell sein Maul. Der Oberkiefer, also der 2. Schenkel des Winkels, verändert dadurch seine Richtung. In diesem Fall erkennen wir sofort, dass
$\beta$, genauer gesagt der Richtungsunterschied zwischen Unter- und Oberkiefer, größer ist als $\alpha$.
Er ergänzt: Um die Winkelgröße zahlenmäßig zu bestimmen, müssen wir den Winkel messen.
