Winkel messen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie wir Winkel messen.
Erforderliches Vorwissen
Problemstellung
Die Größe eines Winkels lässt sich in Zahlen ausdrücken. Zur Bestimmung dieser Zahl müssen den Winkel messen.
Einen Winkel zu messen bedeutet, ihn mit einem anderen, bekannten Winkel zu vergleichen.
Welcher Winkel sich dafür gut eignet, erfahren wir im Folgenden:
Brownie ist gerade mit seinem Herrchen, dem Mathelehrer Herrn Schneider, im Stadtpark unterwegs, als eine Katze versucht, einen Baum zu besteigen. Konzentriert beobachtet er seine potenzielle Beute. Die schwarz-weiße Linie in der Abbildung stellt seine Blicklinie dar.
Nach mehrmaligen Abrutschen entscheidet sich die Katze, ihr Glück an einem anderen Baum zu versuchen. Um die Fährte nicht zu verlieren, dreht sich Brownie ihren Bewegungen folgend. Als die leckere Katze den zweiten Baum erreicht, hat sich die Blicklinie des Hundes um $\alpha$ verändert.
Preisfrage
Wie groß ist $\alpha$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir den Winkel $\alpha$ mit dem Winkel, der eine volle Umdrehung beschreibt, denn was es bedeutet, sich einmal im Kreis zu drehen, weiß jedes Kind.
Ein Winkel, der eine volle Umdrehung beschreibt, heißt Vollwinkel.
In seiner Ausgangsposition schaut Brownie entlang der schwarz-weißen Linie. Diese können wir also als Startlinie seiner Drehung verstehen und ihr die Zahl $0$ zuweisen – wegen $0$ Umdrehungen. Gleichzeitig handelt es sich bei dieser Linie um die Ziellinie, weil er nach einer vollen Umdrehung logischerweise wieder in dieselbe Richtung schaut. Darum steht hinter der $0$ eine $1$ in Klammern.
Eine Drehung um $\alpha$ entspricht einem Bruchteil einer vollen Umdrehung.
Um welchen Teil es sich genau handelt, erfahren wir, wenn wir den Kuchen
aus der Abbildung in gleich große Stücke schneiden.
Das Teilen in vier gleich große Sektoren ist zu ungenau. Wir können hier lediglich festhalten, dass $\alpha$ kleiner ist als eine Vierteldrehung.
Das Teilen in acht gleich große Sektoren führt in diesem Fall zu einem exakten Ergebnis:
$\alpha$ ist der achte Teil einer ganzen Umdrehung.
In Formelsprache könnten wir das Ergebnis vielleicht so schreiben: $\alpha = \frac{1}{8}\ \textrm{Umdrehung}$. Eine umständliche Schreibweise, nicht wahr?
Um in Zukunft das Rechnen mit Brüchen zu vermeiden, treffen wir folgende Vereinbarung:
Wir teilen den Vollwinkel in 360 gleich große Teile und nennen jeden Teil ein Grad
($1^\circ$).
$\boldsymbol{1^\circ}$ (sprich: ein Grad
) ist der 360. Teil des Vollwinkels.
Damit haben wir das Gradmaß eingeführt, mit dessen Hilfe wir jede Winkelgröße in Grad ausdrücken können. So entspricht z. B.
- eine volle Umdrehung
$360^\circ$, - eine halbe Umdrehung
$180^\circ$($= \frac{1}{2}\cdot 360^\circ$), - eine Viertelumdrehung
$90^\circ$($= \frac{1}{4}\cdot 360^\circ$) und - eine Achtelumdrehung
$45^\circ$($= \frac{1}{8}\cdot 360^\circ$).
Mit diesem Wissen können wir die obige Abbildung auch ohne komplizierte Brüche beschriften:
Dass Brownie den achten Teil einer ganzen Umdrehung vollzogen hat, formulieren Mathematiker schlicht und einfach durch $\alpha = 45^\circ$ (sprich: alpha gleich 45 Grad
).
Winkel messen mit Geodreieck
Der Vorgänger des Geodreiecks war eine kreisförmige Schablone, auf der vom Mittelpunkt aus Strahlen mit gleichem Richtungsunterschied eingezeichnet und entsprechend beschriftet waren. Wie eine Messung mit einer solchen Schablone funktioniert, soll folgendes Beispiel zeigen:
legen wir die Schablone so auf den Winkel, dass der Mittelpunkt des Kreises genau über dem Scheitel des Winkels liegt und die $0^\circ$-Linie den ersten Schenkel des Winkels verdeckt.
Die Größe des Winkels lässt sich dann an dem zweiten Schenkel ablesen. Hier gilt: $\alpha = 30^\circ$.
Diese Art von Winkelmesser ist auch heute noch im Handel erhältlich. In der Schule hat sich allerdings die Verwendung des Geodreiecks durchgesetzt, weil es zwei wichtige Messgeräte ineinander vereint: Wir können damit nicht nur Winkel, sondern auch Längen messen.
Ein handelsübliches Geodreick hat zwei Winkelskalen. Was hat es damit auf sich?
Ganz einfach: Die äußere Winkelskala dient zur Messung eines Winkels gegen den Uhrzeigersinn. Die innere Winkelskala dient zur Messung eines Winkels im Uhrzeigersinn.
Um Verwirrungen und Messfehlern vorzubeugen, gewöhnen wir uns an, ausschließlich die äußere Skala zu betrachten. Das ist auch deshalb sinnvoll, weil in der Mathematik, wie in dem Kapitel Winkel ausführlich besprochen, gegen den Uhrzeigersinn positiv gerechnet wird.
Winkel kleiner als 180°
Winkel, die kleiner als $180^\circ$ sind, messen wir mit einem Geodreick nach folgendem Schema:
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$.
Als Messgerät ist ein Geodreieck gegeben.
Zuerst schieben wir das Geodreieck so hin, dass der Nullpunkt auf dem Scheitel liegt.
Danach drehen wir das Geodreieck, bis die $0^\circ$-Linie den ersten Schenkel des Winkels berührt.
Oftmals sind die Schenkel des Winkels nicht lang genug, um ein eindeutiges Ablesen zu ermöglichen. Zur Behebung dieses Problems haben wir im Folgenden die Schenkel verlängert.
Winkel größer als 180°
Obwohl die Messskala eines Geodreiecks nur bis $180^\circ$ reicht, können wir auch größere Winkel messen. Dazu bedienen wir uns eines kleinen Tricks, der im folgenden Beispiel erläutert wird.
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$.
Als Messgerät ist ein Geodreieck gegeben.
Statt $\alpha$ messen wir $\beta$, also den kleineren der beiden Winkel, der durch die beiden Schenkel gebildet werden kann.
Was bringt uns das?
Ganz einfach:$\alpha + \beta = 360^\circ$$\Rightarrow \alpha = 360^\circ - \beta$
Wir können $\alpha$ also aus $\beta$ berechnen!
Winkel können ihrer Größe nach in verschiedene Winkelarten eingeteilt werden.
