Winkelmaß
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Winkelmaß ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Maßeinheit?
Definition
Problemstellung
Gegeben ist ein Winkel $\alpha$.
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$.
Problemlösung
Wir messen den Winkel.
Einen Winkel zu messen bedeutet, ihn mit einem anderen, bekannten Winkel zu vergleichen. Diesen Vergleichswinkel bezeichnen wir allgemein als Maßeinheit oder hier als Winkelmaß.
Ein Winkelmaß ist eine Maßeinheit für Winkelgrößen.
Der Begriff Winkelmaß
ist eine abkürzende Bezeichnung für Winkelmaßeinheit
.
Die wichtigsten Winkelmaße im Überblick
Die wichtigsten Winkelmaße, das Gradmaß und das Bogenmaß, basieren auf Kreisteilungen.
Wenn wir um den Scheitelpunkt des Winkels einen Kreis ziehen, erkennen wir, dass $\alpha$ einen bestimmten Teil des Vollkreises repräsentiert.
Um diesen bestimmten Teil
zahlenmäßig auszudrücken, gibt es verschiedene Möglichkeiten, die wir im Folgenden kennenlernen werden.
Gradmaß
Die Einheit des Gradmaßes heißt Grad ($^\circ$).
$\boldsymbol{1^\circ}$ (sprich: ein Grad
) entspricht dem 360. Teil des Vollwinkels.
Als Vollwinkel bezeichnen Mathematiker den Winkel, der eine volle Umdrehung beschreibt.
1 Grad veranschaulicht
$1^\circ$ ist der Richtungsunterschied zweier nebeneinanderliegender Strahlen, wenn der Vollkreis in 360 gleich große Teile zerlegt wird.
Leider ist $1^\circ$ so klein, dass wir einen sehr großen Kreis zeichnen müssten, um die einzelnen Strahlen eindeutig erkennen zu können. Wir behelfen uns hier, indem wir die obige Abbildung durch eine Lupe betrachten.
Bogenmaß
Die Einheit des Bogenmaßes heißt Radiant ($\textrm{rad}$).
$\boldsymbol{1\ \textbf{rad}}$ (sprich: ein Radiant
) entspricht einer Bogenlänge von $1\ \textrm{LE}$ auf dem Einheitskreis.
Als Einheitskreis bezeichnen Mathematiker einen Kreis mit Radius $r = 1\ \textrm{LE}$.
1 Radiant veranschaulicht
Gegeben
Scheitelpunkt eines Winkels und 1. Schenkel
Gesucht
2. Schenkel des Winkels, so dass der Winkel eine Größe von genau $1\ \textrm{rad}$ erreicht
Zuerst zeichnen wir einen Kreis um den Scheitelpunkt mit einem Radius von einer Längeneinheit. Ob es sich dabei um $\textrm{cm}$, $\textrm{m}$ oder sogar um $\textrm{km}$ handelt, spielt keine Rolle.
Danach nehmen wir eine Schnur zur Hand, die die gleiche Länge hat wie der Radius und legen diese so auf den Kreis, dass ein Ende auf dem Schnittpunkt von 1. Schenkel und Kreis liegt. Den Kreispunkt, auf dem das andere Ende der Schnur liegt, markieren wir mit einem Kreuz.
Der 2. Schenkel des $1\ \textrm{rad}$ großen Winkels verläuft durch das eben gezeichnete Kreuz.
$1^\circ$ und $1\ \textrm{rad}$ sind unterschiedliche Vergleichswinkel, mit deren Hilfe wir Winkel messen können.
