Echte Teilmenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine echte Teilmenge ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Der Begriff Teilmenge schließt die Gleichheit von Mengen ($A = B$) mit ein:
$A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}$ ist Teilmenge von $B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.
$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$ ist Teilmenge von $B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.
Um den 1. von dem 2. Fall zu unterscheiden, gibt es den Begriff Echte Teilmenge
.
Definition
Eine Menge $A$ heißt echte Teilmenge einer Menge $B$,
wenn jedes Element von $A$ auch zur Menge $B$ gehört und
wenn zu $B$ mindestens noch ein weiteres Element gehört,
das nicht Element von $A$ ist:
$$ A \subset B \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B \wedge A \neq B $$
Die obige Formel bedeutet übersetzt:
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subset B}_\text{A ist echte Teilmenge von B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \neq B}_\text{A ungleich B} $$
$A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}$ ist echte Teilmenge von $B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.
