Gerade

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einer Gerade verstehen.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Linie

Definition

Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie.

Das, was wir über Linien im Allgemeinen gesagt haben, gilt natürlich auch für Geraden:

Eine Gerade repräsentiert einen Weg.
Eine Gerade ist eine unendliche Punktmenge.
Eine Gerade entsteht durch die Bewegung eines Punktes.
Eine Gerade hat eine Ausdehnung (Dimension).

Lage einer Gerade

Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Es überrascht deshalb ein wenig, dass wir nur zwei Punkte einer Gerade kennen müssen, um ihre Lage eindeutig angeben zu können.

Die Lage einer Gerade ist durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt.

Durch einen Punkt können wir unendlich viele Geraden ziehen.

Abb. 1 / Geraden durch einen Punkt

Durch zwei Punkte können wir nur eine Gerade ziehen.

Abb. 2 / Gerade durch zwei Punkte

Bildliche Darstellung einer Gerade

Eine Gerade ist beidseitig unbegrenzt, also unendlich lang. Da unsere Zeichenfläche endlich ist, können wir immer nur einen kleinen Ausschnitt der Gerade darstellen. Ihre unendliche Länge wird in der Abbildung durch das plötzliche Auftauchen und wieder Verschwinden der Gerade angedeutet. Sind Geradenpunkte eingezeichnet, so verläuft die Gerade durch alle Punkte hindurch – das unterscheidet Geraden von Halbgeraden und Strecken.

Bezeichnung einer Gerade

Um eine bestimmte Gerade ansprechen zu können, müssen wir ihr einen Spitznamen geben. Das ist vor allem dann wichtig, wenn in einer Abbildung mehrere Geraden eingezeichnet sind.

Geraden werden gewöhnlich mit lateinischen Kleinbuchstaben ( $a$ , $b$ , $c$ ,…) bezeichnet.

Mathematische Schreib- und Sprechweise

$g$ (sprich: Gerade g)
$h$ (sprich: Gerade h)

Abb. 3 / Bezeichnung von Geraden mit lateinischen Kleinbuchstaben

Geraden können auch durch zwei Geradenpunkte bezeichnet werden.

Mathematische Schreib- und Sprechweise

$AB$ (sprich: Gerade AB)
$AC$ (sprich: Gerade AC)

Die Reihenfolge der Buchstaben ist beliebig, d. h. $BA$ bezeichnet dieselbe Gerade wie $AB$ .

Abb. 4 / Bezeichnung von Geraden durch zwei Geradenpunkte

Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade

Mathematiker interessieren sich für die Beziehungen zwischen geometrischen Gebilden. Es stellt sich die Frage, in welcher Beziehung ein Punkt zu einer Gerade liegen kann.

Punkt liegt auf der Gerade

Mathematische Schreibweise

$A \in g$

Mathematische Sprechweise

A ist Element von g
A liegt auf g

Abb. 5 / Punkt liegt auf Gerade

Punkt liegt nicht auf der Gerade

Mathematische Schreibweise

$B \notin g$

Mathematische Sprechweise

B ist nicht Element von g
B liegt nicht auf g

Abb. 6 / Punkt liegt nicht auf Gerade

Zur Erinnerung: Die Symbole $\in$ und $\notin$ stammen aus der Mengenlehre.

Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden

Mathematiker interessieren sich für die Beziehungen zwischen geometrischen Gebilden. Es stellt sich die Frage, in welcher Beziehung zwei Geraden zueinander liegen können.

Parallele Geraden

Zwei parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand; sie schneiden sich nie.

Spezialfall

Ist der Abstand zwischen den beiden Geraden gleich Null, so heißen sie identisch.

Abb. 7 / Parallele Geraden

Nicht-parallele Geraden
(Sich schneidende Geraden)

Zwei nicht-parallele Geraden haben nicht überall den gleichen Abstand; sie schneiden sich in einem Punkt, ihrem sog. Schnittpunkt.

Spezialfall

Ist der Schnittwinkel $\varphi$ der Geraden ein rechter Winkel, so heißen sie zueinander senkrecht.

Abb. 8 / Nicht-parallele Geraden

Teilmengen einer Gerade

In vielen Fällen ist es nicht notwendig, die ganze Gerade zu betrachten, sondern nur einen Teil davon. Dabei unterscheiden wir danach, ob die Gerade einseitig oder beidseitig begrenzt ist:

Halbgerade

= einseitig begrenzte Gerade

Abb. 9 / Halbgerade

Strecke

= beidseitig begrenzte Gerade

Abb. 10 / Strecke