Strecke
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einer Strecke verstehen.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine Strecke ist eine beidseitig begrenzte gerade Linie.
Das, was wir über Linien im Allgemeinen gesagt haben, gilt natürlich auch für Strecken:
- Eine Strecke repräsentiert einen Weg.
- Eine Strecke ist eine unendliche Punktmenge.
- Eine Strecke entsteht durch die Bewegung eines Punktes.
- Eine Strecke hat eine Ausdehnung (Dimension).
Im Gegensatz zu Geraden und Halbgeraden haben Strecken eine endliche Länge!
Lage einer Strecke
Eine Strecke besteht aus unendlich vielen Punkten. Es überrascht deshalb ein wenig, dass wir nur zwei Punkte einer Strecke kennen müssen, um ihre Lage eindeutig angeben zu können.
Die Lage einer Halbgerade ist durch ihre beiden Begrenzungspunkte eindeutig bestimmt.
Ist nur ein Begrenzungspunkt bekannt, haben wir unendlich viele Möglichkeiten, eine Strecke einzuzeichnen.
Sind beide Begrenzungspunkte bekannt, haben wir nur eine Möglichkeit, eine Strecke einzuzeichnen.
Bildliche Darstellung einer Strecke
Die obige Abbildung zeigt, wie wir eine Strecke gewöhnlich veranschaulichen – nämlich als gerader Strich zwischen zwei Punkten.
Zur Erinnerung: Eine Strecke kann eigentlich nicht gezeichnet werden, da sie keine Breite hat. Mehr dazu erfährst du im Kapitel zu den Linien.
Bezeichnung einer Strecke
Um eine bestimmte Strecke ansprechen zu können, müssen wir ihr einen Spitznamen geben. Das ist vor allem dann wichtig, wenn in einer Abbildung mehrere Strecken dargestellt sind.
Strecken werden meist mit lateinischen Kleinbuchstaben ($a$, $b$, $c$,…) bezeichnet.
Mathematische Schreib- und Sprechweise
$g$(sprich:Strecke g
)$h$(sprich:Strecke h
)
Strecke können auch durch ihre Begrenzungspunkte bezeichnet werden.
Mathematische Schreib- und Sprechweise
$[AB]$(sprich:Strecke AB
)$[AC]$(sprich:Strecke AC
)
Alle Wege führen nach Rom
…zumindest besagt das ein altes Sprichwort. Tatsächlich gibt es unendlich viele Möglichkeiten, um von A nach B zu kommen. Aber welcher Weg ist der kürzeste? Dieser Frage sind Menschen schon vor Jahrtausenden nachgegangen. Im Folgenden besprechen wir ihre Erkenntnisse.
Strecke als kürzeste Verbindungslinie
Stell dir vor, du bist bei der Apotheke (Punkt $A$) und willst zu dem Bäcker (Punkt $B$) auf der gegenüberliegenden Straßenseite. Es gibt viele Möglichkeiten, die Straße zu überqueren:
Im Normalfall wirst du anderen Personen, Gegenständen oder Fahrzeugen ausweichen müssen, um auf die andere Seite der Straße zu gelangen. Dein Weg zum Bäcker könnte dann z. B. wie eine kleine Kurve aussehen.
(siehe Weg $a$ oder Weg $c$)
Es ist aber auch möglich, dass nichts im Weg steht und du geradlinig, also ohne Änderung deiner Richtung, zum Bäcker gehen kannst.
(siehe Weg $b$)
Dass es keinen kürzeren als den geraden Weg gibt, leuchtet ein. Wir halten deshalb fest:
Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.
Was ist allerdings, wenn zwei Bäcker zu Auswahl stehen? Woher wissen wir, welcher näher ist?
Länge einer Strecke
Sich in einer fremden Stadt zurechtzufinden, ist manchmal gar nicht so einfach. Zum Glück haben wir immer unser Smartphone griffbereit, das dank modernster Navigationstechnik sofort weiß, wo die nächste Apotheke, der nächste Bäcker oder die nächste Tankstelle ist. Wenn sich dein Akku allerdings verabschiedet hat, musst du auf den guten alten Stadtplan ausweichen.
Stell dir vor, du bist bei der Apotheke (Punkt $A$) und hast plötzlich eine Heißhungerattacke. Auf dem Stadtplan sind zwei Bäcker ($B_1$ und $B_2$) eingezeichnet. Welcher liegt am nächsten?
Grundsätzlich kann der Vergleich zweier Strecken zu einer der folgenden Aussagen führen:
$s_1$ist größer als$s_2$.$s_1$ist kleiner als$s_2$.$s_1$ist genauso groß wie$s_2$.
Wenn wir kein Lineal zur Hand haben, können wir mit einem selbstgebastelten Zirkel (z. B. aus einer Schnur und einem Kugelschreiber) die eine Strecke auf der anderen abbilden.
Wir erkennen:
Der Bäcker $B_2$ liegt näher als der Bäcker $B_1$.
($s_2$ ist kleiner als $s_1$$\leftrightarrow$
)$s_1$ ist größer als $s_2$
Für Mathematiker sind obige Aussagen viel zu grob. Sie sind erst dann zufrieden, wenn beim Vergleich zweier Strecken eine Zahl herauskommt. Gesucht ist also die Länge einer Strecke:
Die Länge einer Strecke ist der Abstand zwischen zwei Punkten.
In unserem Alltag hören wir auch oft die bedeutungsgleichen Begriffe Entfernung
und Distanz
.
Größen – wie Längen – werden durch eine Maßzahl und eine Maßeinheit angegeben.
Gängige Längenmaße sind u. a. Zentimeter ($\textrm{cm}$), Meter ($\textrm{m}$) und Kilometer ($\textrm{km}$).
Bezeichnung der Länge einer Strecke
Die Länge der Strecke $[AB]$ bezeichnen wir mit $\overline{AB}$ (sprich: Länge der Strecke AB
).
Alternativ können wir Streckenlängen auch mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnen.
Unterschied zwischen der Strecke und ihrer Länge
Wenn du aufmerksam mitgelesen hast, ist dir vielleicht aufgefallen, dass lateinische Kleinbuchstaben ($a$, $b$, $c$,…) sowohl zur Bezeichnung der Strecke, also einer unendlichen Punktmenge, als auch zur Bezeichnung der Länge einer Strecke verwendet werden. Was auf den ersten Blick verwirrt, dient eigentlich der Vereinfachung, denn eine scharfe Unterscheidung zwischen der Strecke und ihrer Länge ist meist nicht notwendig – vor allem nicht in der Schule. Es ist sogar üblich, statt von der Länge einer Strecke
einfach von der Strecke
zu sprechen.
Orientierte Strecke
Die Strecke $[AB]$ hat keine Orientierung, d. h. sie trifft keine Aussage darüber, ob die gerade Linie im Punkt $A$ beginnt oder endet. Für Strecken mit Orientierung gibt es einen Fachbegriff:
Eine orientierte Strecke heißt Pfeil.
