Lagebeziehung: Identische Geraden
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man rechnerisch überprüft, ob es sich bei zwei Geraden um identische Geraden handelt. Dabei sind die Geraden in Parameterform gegeben.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden vier mögliche Lagen:
- Identische Geraden
- Echt parallele Geraden
- Windschiefe Geraden
- Sich schneidende Geraden
Bedingungen
Zwei Geraden sind identisch, wenn
- die Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander) sind und
- der Aufpunkt der einen Gerade auf der anderen Gerade liegt
Hinweis: Grundsätzlich kann zur Überprüfung der zweiten Bedingung jeder Punkt der Gerade verwendet werden. Meist eignet sich jedoch für diese Aufgabe der Aufpunkt am besten, da man ihn nicht extra berechnen, sondern nur ablesen muss.
Beispiel
Gegeben sind die beiden Geraden
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Gib die Lagebeziehung der Geraden an.
Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d. h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl $r$ gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Gerade zum Richtungsvektor der ersten Gerade wird.
Ansatz: $\vec{u} = r \cdot \vec{v}$
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von $r$:
$$ \begin{align*} 1 &= r \cdot (-1) & & \Rightarrow & & r = -1 \\ 2 &= r \cdot (-2) & & \Rightarrow & & r = -1 \\ 1 &= r \cdot (-1) & & \Rightarrow & & r = -1 \end{align*} $$
Wenn $r$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Das ist hier der Fall! Folglich handelt es sich entweder um identische Geraden oder um echt parallele Geraden. Um das herauszufinden, setzen wir einen Punkt der einen Gerade in die Geradengleichung der anderen Gerade.
Liegt der Aufpunkt der Gerade $\boldsymbol{h}$ in der Gerade $\boldsymbol{g}$?
Im zweiten Schritt untersuchen wir, ob der Aufpunkt der Gerade $h$ in der Gerade $g$ liegt. Dazu setzen wir den Aufpunkt mit der Geradengleichung von $g$ gleich.
Ansatz: $\vec{b} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}$
$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von $\lambda$:
$$ \begin{align*} 4 &= 2 + \lambda \cdot 1 & & \Rightarrow & & \lambda = 2 \\ 4 &= 0 + \lambda \cdot 2 & & \Rightarrow & & \lambda = 2 \\ 4 &= 2 + \lambda \cdot 1 & & \Rightarrow & & \lambda = 2 \end{align*} $$
Wenn $\lambda$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Gerade $h$ auf der Gerade $g$. Das ist hier der Fall! Folglich handelt es sich identische Geraden.
