Lagebeziehung: Sich schneidende Geraden
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man rechnerisch überprüft, ob es sich bei zwei Geraden um zwei sich schneidende Geraden handelt. Dabei sind die Geraden in Parameterform gegeben.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden vier mögliche Lagen:
- Identische Geraden
- Echt parallele Geraden
- Windschiefe Geraden
- Sich schneidende Geraden
Bedingungen
Zwei Geraden schneiden sich, wenn
- die Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander) sind und
- bei dem Versuch, einen Schnittpunkt zu berechnen, eine wahre Aussage entsteht
Beispiel
Gegeben sind die beiden Geraden
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Gib die Lagebeziehung der Geraden an.
Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d. h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl $r$ gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Gerade zum Richtungsvektor der ersten Gerade wird.
Ansatz: $\vec{u} = r \cdot \vec{v}$
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von $r$:
$$ \begin{align*} 2 &= r \cdot (-1) & & \Rightarrow & & r = -2 \\ 2 &= r \cdot (-1) & & \Rightarrow & & r = -2 \\ 1 &= r \cdot 1 & & \Rightarrow & & r = 1 \end{align*} $$
Wenn $r$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Das ist hier nicht der Fall! Folglich handelt es sich entweder um zwei sich schneidende Geraden oder um windschiefe Geraden. Um das herauszufinden, überprüfen wir rechnerisch, ob ein Schnittpunkt existiert.
Auf Schnittpunkt prüfen
Geradengleichungen gleichsetzen
$$ \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v} $$
$$ \begin{align*} -3 + 2\lambda &= 4 - \mu \tag{1. Zeile} \\ -4 + 2\lambda &= 3 - \mu \tag{2. Zeile} \\ -1 + \lambda &= 1 + \mu \tag{3. Zeile} \end{align*} $$
Parameter $\lambda$ und $\mu$ durch das Additionsverfahren berechnen
Zum Berechnen der beiden Parameter braucht man nur zwei Zeilen (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten). Die verbleibende dritte Zeile dient im 3. Schritt dazu, die Existenz eines Schnittpunktes ggf. zu bestätigen.
Wir addieren die 2. mit der 3. Zeile, damit $\mu$ wegfällt…
$$ \begin{align*} -5 + 3\lambda = 4 & & \Rightarrow & & \lambda = 3 \end{align*} $$
…auf diese Weise können wir $\lambda$ berechnen.
Danach setzen wir $\lambda = 3$ in die 3. Zeile ein, um $\mu$ zu berechnen.
$$ \begin{align*} -1 + 3 = 1 + \mu & & \Rightarrow & & \mu = 1 \end{align*} $$
Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen
Die beiden Parameter haben wir mithilfe der 2. und der 3. Zeile berechnet. Zur Überprüfung der Existenz eines Schnittpunktes bleibt demnach die 1. Zeile übrig. In diese setzen wir die berechneten Parameter ein.
$$ \begin{align*} -3 + 6 = 4 - 1 & & \Rightarrow & & 3=3 \end{align*} $$
Überprüfen, ob es sich um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt
Da es sich in unserem Beispiel um eine wahre Aussage ($3 = 3$) handelt, gibt es einen Schnittpunkt. Somit schneiden sich die Geraden.
Im nächsten Kapitel lernen wir, wie man die Koordinaten des Schnittpunkts berechnet.
