Schnittwinkel zweier Geraden
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden in der analytischen Geometrie berechnet. Dabei sind die Geraden in Parameterform gegeben. Zur Erinnerung: In der Analysis haben wir bereits den Schnittwinkel zweier Geraden mithilfe linearer Funktionen berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden vier mögliche Lagen:
Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel und einen Schnittpunkt berechnen.
Formel
Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden sich schneidenden Geraden
$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$
$$ h\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v} $$
lautet
$$ \begin{align*} \cos\varphi = \frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} & & \Rightarrow & & \varphi = \cos^{-1}\left(\frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\right) \end{align*} $$
- Der Ausdruck
$\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|$ist der Betrag des Skalarprodukts der beiden Richtungsvektoren. - Der Ausdruck
$\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|$ist das Produkt der Beträge der Richtungsvektoren.
Wir müssen also wissen, wie man das Skalarprodukt und den Betrag (die Länge eines Vektors) berechnet.
Anleitung
Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
Länge der Richtungsvektoren berechnen
Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
Formel nach $\boldsymbol{\varphi}$ auflösen
Wenn $\vec{u}\circ\vec{v} = 0$ gilt, schneiden sich $g$ und $h$ senkrecht (d. h. im $90^\circ$-Winkel).
Beispiel
Gegeben sind die beiden sich schneidenden Geraden
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Geraden?
Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
$$ \vec{u}\circ\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -3 $$
Länge der Richtungsvektoren berechnen
$$ \left|\vec{u}\right| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3 $$
$$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} $$
Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
Die in Schritt 1 und 2 berechneten Zwischenergebnisse setzen wir nun in die Formel ein
$$ \cos\varphi = \frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} $$
und erhalten somit
$$ \cos\varphi = \frac{\left|-3\right|}{3 \cdot \sqrt{3}} $$
Jetzt müssen wir noch die Betragsstriche im Zähler des Bruchs auflösen. Dadurch verschwindet das negative Vorzeichen.
$$ \cos\varphi = \frac{\left|-3\right|}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{3}} $$
Der Bruch lässt sich noch kürzen,
$$ \cos\varphi = \frac{\cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
bevor man die Gleichung nach $\varphi$ auflöst.
Formel nach $\boldsymbol{\varphi}$ auflösen
$$ \varphi = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}74^\circ $$
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt etwa $54{,}74^\circ$ Grad.
Was ist der Schnittwinkel?
Wenn sich zwei Geraden schneiden, lassen sich stets zwei Winkel berechnen:
- ein spitzer Winkel (= zwischen
$0^\circ$und$90^\circ$) und - ein stumpfer Winkel (= zwischen
$90^\circ$und$180^\circ$).
Wie du in der Abbildung erkennen kannst, gibt es zwei Schnittwinkel:
- einen spitzen Winkel
$\alpha$ - einen stumpfen Winkel
$\beta$
Zur Erinnerung: Die beiden Winkel sind Nachbarwinkel und ergänzen sich stets zu $180^\circ$.
Sonderfall
Gilt $\vec{u}\circ\vec{v} = 0$, beträgt der Schnittwinkel $90^\circ$.
Es handelt sich in diesem Fall um einen rechten Winkel.
Welcher Winkel ist gesucht?
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, welcher dieser beiden Winkel der gesuchte Schnittwinkel ist.
Mit Schnittwinkel
ist in der Regel der spitze Winkel gemeint.
Die Betragsstriche im Zähler sorgen dafür, dass du stets den spitzen Winkel erhältst.
$$ \cos\varphi = \frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} $$
$$ \cos\varphi = \frac{\left|-3\right|}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
$$ \varphi = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}74^\circ $$
Wenn du die Betragsstriche im Zähler weglässt, erhältst du den stumpfen Winkel.
$$ \cos\varphi = \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} $$
$$ \cos\varphi = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{3}} $$
$$ \varphi = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) \approx 125{,}26^\circ $$
Es lässt sich leicht zeigen, dass die beiden Schnittwinkel zusammen $180^\circ$ ergeben:
$$ 54{,}74^\circ + 125{,}26^\circ = 180^\circ $$
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass du bei der Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden niemals die Betragsstriche im Zähler der Formel vergessen solltest. Nur auf diese Weise erhältst du am Ende den gesuchten spitzen Winkel.
