Lineares Wachstum
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineares Wachstum ist.
Erforderliches Vorwissen
Charakteristikum
Für lineares Wachstum ist eine konstante Zunahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Lineares Wachstum wird durch lineare Funktionen beschrieben.
Beispiel
In unserem Sparschwein befinden sich derzeit 3 €. Ab sofort werfen wir jeden Monat 1 € rein, d. h. unser Vermögen wächst konstant um 1 € pro Monat.
Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) haben wir 3 €. Danach gilt:
- Monat: 4 € (= 3 € + 1 €)
- Monat: 5 € (= 4 € + 1 €)
- Monat: 6 € (= 5 € + 1 €)
- Monat: 7 € (= 6 € + 1 €)
- Monat: 8 € (= 7 € + 1 €)
…
Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Funktion:
Jedem Monat wird ein Vermögen eindeutig zugeordnet.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Monat } x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Vermögen } y & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} $$
Mithilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.
Darstellungsformen
Statt $f(x)$ schreibt man im Zusammenhang mit Wachstum häufig $B(t)$:
$B(t)$ ist eine Funktion, die den Bestand $B$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ ausdrückt.
Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, den Bestand $B$ zu berechnen.
Rekursive Darstellung
$$ B(t+1) = B(t) + {\color{green}m} \quad \text{mit } {\color{green}m > 0} $$
Rekursiv bedeutet auf bekannte Werte zurückgehend
: Um zum Beispiel $B(3)$ zu berechnen, müssen wir $B(2)$ kennen. Um $B(2)$ zu berechnen, müssen wir $B(1)$ kennen und um $B(1)$ zu berechnen, müssen wir $B(0)$ kennen.
Wir befüllen unseren neuen Gartenteich mit Wasser. Aus dem Gartenschlauch fließen 8 Liter pro Minute. Wegen eines Regenschauers befinden sich bereits 50 Liter im Teich.
Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 3 Minuten im Teich?
Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist
$$ B(t+1) = B(t) {\color{green}\; + \; 8} $$
Außerdem gilt:
$$ B(0) = 50 $$
Daraus folgt:
$$ B(1) = B(0) + 8 = 50 + 8 = 58 $$
$$ B(2) = B(1) + 8 = 58 + 8 = 66 $$
$$ B(3) = B(2) + 8 = 66 + 8 = 74 $$
Nach 3 Minuten befinden sich 74 Liter im Teich.
Explizite Darstellung
$$ B(t) = {\color{green}m} \cdot t + b \quad \text{mit } {\color{green}m > 0} $$
Mithilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.
Wir befüllen unseren neuen Gartenteich mit Wasser. Aus dem Gartenschlauch fließen 8 Liter pro Minute. Wegen eines Regenschauers befinden sich bereits 50 Liter im Teich.
Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 3 Minuten im Teich?
Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist
$$ B(t) = {\color{green}8} \cdot t + 50 $$
Daraus folgt:
$$ B(3) = 8 \cdot 3 + 50 = 74 $$
Nach 3 Minuten befinden sich 74 Liter im Teich.
Änderungsrate
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.
Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ ist $\Delta t = t_2 - t_1$.
$\Delta$ (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.
Absolute Änderungsrate
Der absolute Zuwachs eines Bestands heißt absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$.
$$ \Delta B(t) = {\color{green}m} \quad \text{mit } {\color{green}m > 0} $$
$\Rightarrow$ Die absolute Änderungsrate (Wachstumsrate) $\Delta B(t)$ ist konstant.
Herleitung
Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu $\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)$.
$$ \begin{align*} \Delta B(t) &= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) + m \text{ (= Rekursive Darstellung)}} \\[5px] &= B(t) + m - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) - B(t) = 0} \\[5px] &= m \end{align*} $$
Relative Änderungsrate
Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.
$$ \frac{\Delta B(t)}{B(t)} = \frac{{\color{green}m}}{B(t)} \quad \text{mit } {\color{green}m > 0} $$
Handelt es sich um lineares Wachstum?
In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen linearen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:
$$ B(t+1) - B(t) = {\color{green}m} \quad \text{mit } {\color{green}m > 0} $$
Die Differenz zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.
