Quersummenregeln
In diesem Kapitel schauen wir uns spezielle Teilbarkeitsregeln, die sog. Quersummenregeln, an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die zentrale Frage in der Teilbarkeitslehre lautet: Ist
$a$ durch $t$ ohne Rest teilbar?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir nicht immer schriftlich dividieren ($a : t$). Oft erleichtern uns die sog. Teilbarkeitsregeln die Entscheidung über die Teilbarkeit einer Zahl.
Die Teilbarkeitsregeln, die anhand der Quersumme einer Zahl über deren Teilbarkeit durch eine andere Zahl entscheiden, heißen Quersummenregeln.
Wichtige Quersummenregeln im Überblick
Hinweis: Durch Klick auf eine der in blau geschriebenen Zahlen Zahlen (z. B. auf $9 \mid a$) in der Auflistung gelangst du zu einer Unterseite mit ausführlichen Beispielen zur jeweiligen Quersummenregel.
Zur Erinnerung: $9 \mid a$ lesen wir als 9 teilt a
.
Basierend auf nichtalternierenden Quersummen
Nichtalternierende Quersummen liefern ein Teilbarkeitskriterium für die Zahlen $99$, $99$, $999$, $9999$ $\dots$ und ihre Teiler, denn der Teiler eines Teilers einer Zahl ist auch Teiler der Zahl.
| 1er-Quersumme | |
$9 \mid a$ | wenn die Quersumme durch $9$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $3 \mid a$ | wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist |
| 2er-Quersumme | |
$99 \mid a$ | wenn die 2er-Quersumme durch $99$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $11 \mid a$ | wenn die 2er-Quersumme durch $11$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $33 \mid a$ | wenn die 2er-Quersumme durch $33$ teilbar ist |
| 3er-Quersumme | |
$999 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $999$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $3 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $3$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $9 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $9$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $27 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $27$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $37 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $37$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $111 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $111$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $333 \mid a$ | wenn die 3er-Quersumme durch $333$ teilbar ist |
Basierend auf alternierenden Quersummen
Alternierende Quersummen liefern ein Teilbarkeitskriterium für die Zahlen $11$, $101$, $1001$, $10001$ $\dots$ und ihre Teiler, denn der Teiler eines Teilers einer Zahl ist auch Teiler der Zahl.
| Alternierende 1er-Quersumme | |
$11 \mid a$ * | wenn die alternierende Quersumme durch $11$ teilbar ist |
| Alternierende 2er-Quersumme | |
$101 \mid a$ * | wenn die alternierende 2er-Quersumme durch $101$ teilbar ist |
| Alternierende 3er-Quersumme | |
$1001 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $1001$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $7 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $7$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $11 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $11$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $13 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $13$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $77 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $77$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $91 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $91$ teilbar ist |
$\Rightarrow$ $143 \mid a$ | wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $143$ teilbar ist |
* $11$ und $101$ sind Primzahlen. Sie haben also keine echten Teiler.
Anmerkung
Quersummenregeln, die auf alternierenden Quersummen basieren, werden nur selten in der Schule behandelt. Nur der Vollständigkeit halber habe ich einige dieser Regeln hier erwähnt.
