Zahlensysteme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Zahlensysteme sind.
Definition
Ein Zahlensystem ist ein System zur Darstellung von Zahlen.
Warum ein Zahlensystem?
Einer unserer Vorfahren hat in seinem Leben dreißig Mammuts erlegt. Er ist so stolz darauf, dass er die Anzahl der erlegten Mammuts für die Nachwelt festhalten will. An die Wand seiner Höhle zeichnet er sich mit einer riesigen Stoßlanze in der Hand und daneben dreißig Mammuts. Nach einer paar Stunden sind die Zeichnungen fertig. Erschöpft legt er sich hin und flucht: Verdammt, Digga! So n’Aufwand, um die Zahl dreißig aufzuschreiben. Die Zeit hätte ich auch zum Jagen nutzen können. Zeichnen ist brotlose Kunst – davon kann ich nicht leben!
Als er am nächsten Tag aufsteht, hat er eine Idee: Ich male nur einen Mammut und zeichne daneben dreißig Striche. So weiß auch jeder, was gemeint ist, und ich habe wieder mehr Zeit für das Wesentliche im Leben.
Kleine Zahlen lassen sich durch das mehrmalige Aufschreiben eines einziges Zeichens noch einigermaßen gut darstellen. Bei größeren Zahlen ist dieses Verfahren allerdings nicht mehr praktikabel: Stell dir nur mal vor, unser Vorfahre aus dem obigen Beispiel wäre mega erfolgreich und hätte bereits 1250 Mammuts erlegt. Er müsste 1250 Striche an die Wand zeichnen.
Am zeit- und platzsparendsten wäre es natürlich, für jede Zahl ein eigenes Zeichen zu erfinden. Das geht jedoch aus einem einfachen Grund nicht: Es gibt unendlich viele Zahlen!
Wenn wir aber weder mit einem noch mit unendlich vielen Zeichen glücklich werden, dann gibt es nur noch eine Lösung: Wir erfinden Zeichen für einige Zahlen sowie ein System, um mit diesen Zeichen auch Zahlen darstellen zu können, für die es keine eigenen Zeichen gibt.
Im Folgenden bezeichnen wir geschriebene Zeichen zur Darstellung von Zahlen als Ziffern.
Beispiele
Das Additionssystem der Römer
Bis vor über 400 Jahren benutzten Menschen in Mitteleuropa zum Aufschreiben von Zahlen römische Ziffern. Manche Inschriften an alten Gebäuden erinnern uns an diese Zeit. Teilweise werden römische Ziffern aber noch heute eingesetzt, z. B. auf Ziffernblättern von Uhren, zur Nummerierung von Kapiteln in Büchern oder zur dekorativen Schreibung von Jahreszahlen.
Die Ziffern
Die Römer haben sieben Ziffern festgelegt:$\textrm{I}$ (für die Zahl $1$), $\textrm{V}$ ($5$), $\textrm{X}$ ($10$), $\textrm{L}$ ($50$), $\textrm{C}$ ($100$), $\textrm{D}$ ($500$), $\textrm{M}$ ($1000$)
Das System
Zahlen, für die es keine eigenen Ziffern gibt, werden im Additionssystem durch Aneinanderfügen bekannter Ziffern dargestellt. Der Wert einer Zahl errechnet sich durch Addition der Ziffernwerte.
Ein Beispiel
Die Zahl dreißig
, für die die Römer keine eigene Ziffer hatten, haben sie durch Aneinanderfügen dreier $\textrm{X}$ dargestellt.
$\textrm{XXX}$ heißt übersetzt
.$10 + 10 + 10$
Wir merken uns:
Zahlensysteme, bei denen sich der Wert einer Zahl durch Addition der Werte ihrer Ziffern errechnet, heißen Additionssysteme.
Der Nachteil von Additionssystemen ist, dass große Zahlen sehr lang und schriftliche Rechnungen äußerst umständlich sind. Stellenwertsysteme haben diese Nachteile nicht.
Das Stellenwertsystem der Inder
Seit knapp über 400 Jahren benutzen die Menschen in Mitteleuropa zum Aufschreiben von Zahlen arabische Ziffern. Wir kennen diese Ziffern von den Arabern (daher der Name!), aber ursprünglichen stammen diese Ziffern und das dazugehörige Zahlensystem von den Indern.
Die Ziffern
Die Inder haben zehn Ziffern festgelegt:$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$
Das System
Zahlen, für die es keine eigenen Ziffern gibt, werden im Stellenwertsystem – ebenso wie im Additionssystem – durch Aneinanderfügen bekannter Ziffern dargestellt. Im Unterschied zum Additionssystem entscheidet jedoch die Stelle, an der die jeweilige Ziffer steht, darüber, welchen Wert die Ziffer hat. In dem uns bekannten Dezimalsystem hat die Stelle ganz rechts die Wertigkeit $1$ (Einerstelle), die Stelle links neben der Einerstelle die Wertigkeit $10$ (Zehnerstelle), die Stelle links neben der Zehnerstelle die Wertigkeit $100$ (Hunderterstelle) usw.
Ein Beispiel
Die Zahl dreißig
, für die wir keine eigene Ziffer haben, stellen wir durch eine $3$ auf der Zehnerstelle und eine $0$ auf der Einerstelle dar.
$30$ heißt übersetzt
.$3 \cdot \class{mb-orange}{10} + 0 \cdot \class{mb-orange}{1}$
Noch ein Beispiel
Die Zahlen $12$ und $21$ bestehen aus den gleichen Ziffern. Sie haben jedoch einen unterschiedlichen Wert, denn $12 = 1 \cdot \class{mb-orange}{10} + 2 \cdot \class{mb-orange}{1}$ und $21 = 2 \cdot \class{mb-orange}{10} + 1 \cdot \class{mb-orange}{1}$. (Im Additionssystem wäre der Wert der Zahlen gleich, denn $1 + 2 = 2 + 1 = 3$.)
Wir merken uns:
Zahlensysteme, bei denen der Wert einer Ziffer von der Stelle abhängt, an der sie steht, heißen Stellenwertsysteme.
Das Binärsystem des Computerzeitalters
In jüngerer Vergangenheit ist das Binärsystem (Zweiersystem) in den Fokus der Betrachtung gerückt. Schuld daran ist die rasante Entwicklung der Computertechnologie, die letztlich auf den Zahlen $0$ und $1$ aufbaut.
