Interquartilsabstand

In diesem Kapitel schauen wir uns den Interquartilsabstand an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist der Interquartilsabstand.

Der Interquartilsabstand ist ein Streuungsparameter.

Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.

Interquartilsabstand berechnen

Formel für den Interquartilsabstand

\(IQR = Q_{0,75} - Q_{0,25}\)

Dabei gilt:

  • \(IQR\) = Interquartilsabstand (engl. interquartile range)
  • \(Q_{0,75}\) = 0,75-Quartil, 3. Quartil (Q3) oder oberes Quartil
  • \(Q_{0,25}\) = 0,25-Quartil, 1. Quartil (Q1) oder unteres Quartil

Um den Interquartilsabstand zu berechnen, geht man also folgendermaßen vor:

Vorgehensweise

  1. Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren
  2. Quartile berechnen
  3. 0,75-Quartil - 0,25-Quartil

zu 2.)

Quartile sind spezielle Lageparameter, die eine Verteilung in (annäherend) vier gleich große Teile teilen. Für den Interquartilsabstand brauchen wir das 0,75-Quartil und das 0,25-Quartil.

Das 0,75-Quartil entspricht dem Wert,
welcher größer oder gleich 75% aller Werte ist.

\(\begin{equation*}
Q_{0,75} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,75)} + x_{(n \cdot 0,75 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0,75 \text{ ganzzahlig}\\
x_{(\lceil n \cdot 0,75\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0,75 \text{ nicht ganzzahlig}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Das 0,25-Quartil entspricht dem Wert,
welcher größer oder gleich 25% aller Werte ist.

\(\begin{equation*}
Q_{0,25} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,25)} + x_{(n \cdot 0,25 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0,25 \text{ ganzzahlig}\\
x_{(\lceil n \cdot 0,25\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0,25 \text{ nicht ganzzahlig}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Dabei steht \(n\) für die Anzahl der Beobachtungswerte und die Klammern bei \(\lceil n \cdot 0,75\rceil\) bzw. \(\lceil n \cdot 0,75\rceil\) stehen für die Aufrundungsfunktion. Der Wert in Klammern wird also ggf. auf die nächste ganze Zahl, die größer oder gleich \(n \cdot 0,75\) bzw. \(n \cdot 0,25\) ist, aufgerundet.

Beispiele:
\(\lceil 2,8 \rceil = 3\)
\(\lceil 2,3 \rceil = 3\)
\(\lceil 2 \rceil = 2\)

Die Klammern für die Aufrundungsfunktion \(\lceil x \rceil\) darf man nicht mit normalen eckigen Klammern \([x]\) verwechseln.

Beispiel 1

Wir fragen 12 Kinder nach ihrem Alter.

Die Antworten der Kinder lauten:
5, 3, 7, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 8, 7, 5

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \\ \hline
\text{Alter} & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 \\
\hline \end{array}\)

2.) Quartile berechnen

\({\colorbox{orange}{0,75-Quartil}}\)

\(\begin{equation*}
Q_{0,75} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,75)} + x_{(n \cdot 0,75 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0,75 \text{ ganzzahlig}\\
x_{(\lceil n \cdot 0,75\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0,75 \text{ nicht ganzzahlig}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wegen \(n = 12\) gilt:
\(12 \cdot 0,75 = 9\)

Da \(n \cdot 0,75\) ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,75-Quartils:
\(Q_{0,75} = \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,75)} + x_{(n \cdot 0,75 + 1)}\right)\)

Mit \(n = 12\) erhält man demnach:
\(Q_{0,75} = \frac{1}{2}\left(x_{(12 \cdot 0,75)} + x_{(12 \cdot 0,75 + 1)}\right)\)
\(Q_{0,75} = \frac{1}{2}\left(x_{9} + x_{10}\right)\)

Aus der Tabelle lässt sich ablesen \(x_9 = 6\) und \(x_{10} = 7\). Folglich gilt:
\(Q_{0,75} = \frac{1}{2}\left(6 + 7\right) = \frac{1}{2} \cdot 13 = {\colorbox{orange}{\(6,5\)}}\)

\({\colorbox{yellow}{0,25-Quartil}}\)

\(\begin{equation*}
Q_{0,25} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,25)} + x_{(n \cdot 0,25 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0,25 \text{ ganzzahlig}\\
x_{(\lceil n \cdot 0,25\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0,25 \text{ nicht ganzzahlig}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wegen \(n = 12\) gilt:
\(12 \cdot 0,25 = 3\)

Da \(n \cdot 0,25\) ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,25-Quartils:
\(Q_{0,25} = \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,25)} + x_{(n \cdot 0,25 + 1)}\right)\)

Mit \(n = 12\) erhält man demnach:
\(Q_{0,25} = \frac{1}{2}\left(x_{(12 \cdot 0,25)} + x_{(12 \cdot 0,25 + 1)}\right)\)
\(Q_{0,25} = \frac{1}{2}\left(x_{3} + x_{4}\right)\)

Aus der Tabelle lässt sich ablesen \(x_3 = 4\) und \(x_{4} = 4\). Folglich gilt:
\(Q_{0,25} = \frac{1}{2}\left(4 + 4\right) = \frac{1}{2} \cdot 8 = {\colorbox{yellow}{\(4\)}}\)

3.) 0,75-Quartil - 0,25-Quartil

\(IQR = Q_{0,75} - Q_{0,25} = {\colorbox{orange}{\(6,5\)}} - {\colorbox{yellow}{\(4\)}} = 2,5\)

Der Interquartilsabstand \(IQR\) ist 2,5.

Beispiel 2

Wir fragen 11 Kinder nach ihrem Alter.

Die Antworten der Kinder lauten:
5, 3, 7, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 7, 5

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} \\ \hline
\text{Alter} & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 7 \\
\hline \end{array}\)

2.) Quartile berechnen

\({\colorbox{orange}{0,75-Quartil}}\)

\(\begin{equation*}
Q_{0,75} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,75)} + x_{(n \cdot 0,75 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0,75 \text{ ganzzahlig}\\
x_{(\lceil n \cdot 0,75\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0,75 \text{ nicht ganzzahlig}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wegen \(n = 11\) gilt:
\(11 \cdot 0,75 = 8,25\)

Da \(n \cdot 0,75\) nicht ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,75-Quartils:
\(Q_{0,75} = x_{(\lceil n \cdot 0,75\rceil)}\)

Mit \(n = 11\) erhält man demnach:
\(Q_{0,75} = x_{(\lceil 11 \cdot 0,75\rceil)} = x_{(\lceil 8,25 \rceil)} = x_9\)

Aus der Tabelle lässt sich ablesen \(x_9 = 6\). Folglich gilt:
\(Q_{0,75} = {\colorbox{orange}{\(6\)}}\)

\({\colorbox{yellow}{0,25-Quartil}}\)

\(\begin{equation*}
Q_{0,25} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0,25)} + x_{(n \cdot 0,25 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0,25 \text{ ganzzahlig}\\
x_{(\lceil n \cdot 0,25\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0,25 \text{ nicht ganzzahlig}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wegen \(n = 11\) gilt:
\(11 \cdot 0,25 = 2,75\)

Da \(n \cdot 0,25\) nicht ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,25-Quartils:
\(Q_{0,25} = x_{(\lceil n \cdot 0,25\rceil)}\)

Mit \(n = 11\) erhält man demnach:
\(Q_{0,25} = x_{(\lceil 11 \cdot 0,25\rceil)} = x_{(\lceil 2,75 \rceil)} = x_3\)

Aus der Tabelle lässt sich ablesen \(x_3 = 4\). Folglich gilt:
\(Q_{0,25} = {\colorbox{yellow}{\(4\)}}\)

3.) 0,75-Quartil - 0,25-Quartil

\(IQR = Q_{0,75} - Q_{0,25} = {\colorbox{orange}{\(6\)}} - {\colorbox{yellow}{\(4\)}} = 2\)

Der Interquartilsabstand \(IQR\) ist 3.

Streuungsparameter im Überblick

Im Folgenden findest einen Überblick über einige populäre Streuungsparameter.

Spannweite
(engl. range)

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\)

Interquartilsabstand
(engl. interquartile range)

\(IQR = Q_{0,75} - Q_{0,25}\)

Mittlere absolute Abweichung
(engl. average absolute deviation)
\[D = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!