Arithmetisches Mittel

In diesem Kapitel schauen wir uns das arithmetische Mittel an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist das arithmetische Mittel.

Das arithmetische Mittel ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da das arithmetische Mittel die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert. Umgangssprachlich sagt man zum arithmetischen Mittel auch einfach Durchschnitt.

Arithmetisches Mittel berechnen

Im Folgenden unterscheiden wir, ob die Daten als Beobachtungswerte, absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten gegeben sind. Das arithmetische Mittel von Beobachtungswerten bezeichnet man als ungewogenes arithmetisches Mittel, wohingegen man das arithmetische Mittel von absoluten und relativen Häufigkeiten als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Um das Vorgehen zu verstehen, solltest du dich bereits mit dem Summenzeichen auskennen.

Ungewogenes arithmetisches Mittel
(Beobachtungswerte gegeben)

\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\]

Um das ungewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man alle gegebenen Beobachtungswerte \(x_1\) bis \(x_n\) und dividiert die so ermittelte Summe durch die Summe der Beobachtungswerte \(n\).

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r}
\hline
\text{Schulnote } x_i & 5 & 3 & 6 & 2 & 4 & 3 & 5 \\  \hline
\end{array}\)

\[\bar{x} = \frac{5+3+6+2+4+3+5}{7} = \frac{1}{7} \cdot 28 = 4\]

Gewogenes arithmetisches Mittel
(Absolute Häufigkeiten gegeben)

\[\bar{x} = \frac{x_1 H_1 + x_2 H_2 + \ldots + x_m H_m}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{m} x_i H_i\]

Um das gewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man zunächst die Produkte aller gegebenen Beobachtungswerte und ihrer absoluten Häufigkeiten von \(x_1H_1\) bis \(x_mH_m\). Danach dividiert man die so ermittelte Summe durch die Summe der Beobachtungswerte \(n\).

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\hline
\text{Schulnote } x_i & {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } H_i & 3 & 8 & 12 & 5 & 3 & 1 \\ \hline
\end{array}\)

Zunächst müssen wir die Anzahl der Beobachtungswerte berechnen.

\[n = \sum_{i=1}^{m} H_i\]

\[n = 3 + 8 + 12 + 5 + 3 + 1 = {\color{blue}{32}}\]

Danach können wir das arithmetische Mittel berechnen.

\[\bar{x} = \frac{{\color{red}{1}} \cdot 3 + {\color{red}{2}} \cdot 8 + {\color{red}{3}} \cdot 12 + {\color{red}{4}} \cdot 5 + {\color{red}{5}} \cdot 3 + {\color{red}{6}} \cdot 1}{{\color{blue}{32}}} = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3\]

Gewogenes arithmetisches Mittel
(Relative Häufigkeiten gegeben)

\[\bar{x} = x_1 h_1 + x_2 h_2 + \ldots + x_m h_m = \sum_{i=1}^{m} x_i h_i\]

Um das gewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man die Produkte aller gegebenen Beobachtungswerte und ihrer relativen Häufigkeiten von \(x_1h_1\) bis \(x_mh_m\).

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\hline
\text{Schulnote } x_i & {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\ \hline
\text{relative Häufigkeit } h_i & 0,15 & 0,30 & 0,30 & 0,10 & 0,10 & 0,05 \\ \hline
\end{array}\)

\[\bar{x} = {\color{red}{1}} \cdot 0,15 + {\color{red}{2}} \cdot 0,30 + {\color{red}{3}} \cdot 0,30 + {\color{red}{4}} \cdot 0,10 + {\color{red}{5}} \cdot 0,10 + {\color{red}{6}} \cdot 0,05 = 2,85\]

Lageparameter im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über einige populäre Lageparameter.

Arithmetisches Mittel \[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\]
Geometrisches Mittel

\(\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\)

Harmonisches Mittel \[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\]
Median \[\begin{equation*}
\tilde{x} =
\begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}
\end{cases}
\end{equation*}\]
Modus

\(\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!