Modus

In diesem Kapitel schauen wir uns den Modus an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist der Modus.

Der Modus ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da der Modus die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert.

Modus berechnen

\(\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}\)

Hinweis:
Gibt es mehrere Beobachtungswerte mit der gleichen maximalen Häufigkeit, existiert kein Modus. In so einem Fall muss man einen anderen Mittelwert wählen.

Beispiel 1

Gegeben ist eine unsortierte Verteilung bestehend aus 10 Schulnoten.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Schulnote } x_i & 5 & 3 & 6 & 2 & 4 & 3 & 5 & 6 & 5 & 1 \\  \hline
\end{array}\)

Zunächst sortieren wir die Werte in aufsteigender Reihenfolge.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Schulnote } x_i & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & {\fcolorbox{Red}{}{\(5\)}} & {\fcolorbox{Red}{}{\(5\)}} & {\fcolorbox{Red}{}{\(5\)}} & 6 & 6 \\  \hline
\end{array}\)

Wir erkennen, dass 5 der häufigste Beobachtungswert ist. Folglich gilt:

\(\bar{x}_{\text{d}} = 5\)

Der Modus \(\bar{x}_{\text{d}}\) ist 5.

Beispiel 2

Gegeben sind einige Schulnoten und ihre absoluten Häufigkeiten.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Schulnote } x_i & 1 & {\colorbox{orange}{\(2\)}} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } H_i & 3 & {\fcolorbox{Red}{}{\(12\)}} & 8 & 5 & 3 & 1 \\ \hline
\end{array}\)

Wir erkennen, dass 2 der häufigste Beobachtungswert ist. Folglich gilt:

\(\bar{x}_{\text{d}} = {\colorbox{orange}{\(2\)}}\)

Der Modus \(\bar{x}_{\text{d}}\) ist 2.

Beispiel 3

Gegeben sind einige Schulnoten und ihre relativen Häufigkeiten.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Schulnote } x_i & 1 & 2 & {\colorbox{orange}{\(3\)}} & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\text{relative Häufigkeit } h_i & 0,15 & 0,25 & {\fcolorbox{Red}{}{\(0,35\)}} & 0,10 & 0,10 & 0,05 \\ \hline
\end{array}\)

Wir erkennen, dass 3 der häufigste Beobachtungswert ist. Folglich gilt:

\(\bar{x}_{\text{d}} = {\colorbox{orange}{\(3\)}}\)

Der Modus \(\bar{x}_{\text{d}}\) ist 3.

Lageparameter im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über einige populäre Lageparameter.

Arithmetisches Mittel \[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\]
Geometrisches Mittel

\(\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\)

Harmonisches Mittel \[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\]
Median \[\begin{equation*}
\tilde{x} =
\begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}
\end{cases}
\end{equation*}\]
Modus

\(\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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