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Summenzeichen

In diesem Kapitel lernen wir das Summenzeichen kennen.

Definition 

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n $$

Sprechweise

Summe über $a_k$ von $k = 1$ bis $k = n$

Bedeutung

Das Summenzeichen $\boldsymbol{\sum}$ dient zur vereinfachten Darstellung von Summen.

Bei $\sum$ handelt es sich um den griechischen Großbuchstaben Sigma.

Symbolverzeichnis

  • $k$ heißt Laufvariable, Laufindex oder Summationsvariable
  • $1$ heißt Startwert oder untere Grenze
  • $n$ heißt Endwert oder obere Grenze
  • $a_k$ ist die Funktion bezüglich der Laufvariable

Bezeichnung der Laufvariable

Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{j=1}^{n} a_j $$

Summe berechnen

Wir erhalten alle Summanden der Summe, indem wir in $a_k$ für die Variable $k$ zunächst $1$ (= Startwert), dann $2$ usw. und schließlich $n$ (= Endwert) einsetzen.

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne die Summe $\sum_{k=1}^{5} k^2$.

Vorüberlegungen

  • Laufvariable: $k$
  • Startwert: $1$
  • Endwert: $5$
  • Funktion: $a(k) = k^2$

Funktionswerte berechnen

$\boldsymbol{k}$$\to$$\boldsymbol{a(k) = k^2}$
$1$$\to$$a(1) = 1^2 = 1$
$2$$\to$$a(2) = 2^2 = 4$
$3$$\to$$a(3) = 3^2 = 9$
$4$$\to$$a(4) = 4^2 = 16$
$5$$\to$$a(5) = 5^2 = 25$

Summe berechnen

$$ \begin{align*} \sum_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 + {\color{maroon}2}^2 + {\color{maroon}3}^2 + {\color{maroon}4}^2 + {\color{red}5}^2 \\ &= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \\[5px] &= 55 \end{align*} $$

Beispiel 2 

Berechne die Summe $\sum_{i=5}^{8} 3i$.

Vorüberlegungen

  • Laufvariable: $i$
  • Startwert: $5$
  • Endwert: $8$
  • Funktion: $a(i) = 3i$

Funktionswerte berechnen

$\boldsymbol{i}$$\to$$\boldsymbol{a(i) = 3i}$
$5$$\to$$a(5) = 3 \cdot 5 = 15$
$6$$\to$$a(6) = 3 \cdot 6 = 18$
$7$$\to$$a(7) = 3 \cdot 7 = 21$
$8$$\to$$a(8) = 3 \cdot 8 = 24$

Summe berechnen

$$ \begin{align*} \sum_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= 3 \cdot {\color{red}5} + 3 \cdot {\color{maroon}6} + 3 \cdot {\color{maroon}7} + 3 \cdot {\color{red}8} \\ &= 15 + 18 + 21 + 24 \\[5px] &= 78 \end{align*} $$

Beispiel 3 

Berechne die Summe $\sum_{j=1}^{4} (2j-1)$.

Vorüberlegungen

  • Laufvariable: $j$
  • Startwert: $1$
  • Endwert: $4$
  • Funktion: $a(j) = 2j-1$

Funktionswerte berechnen

$\boldsymbol{j}$$\to$$\boldsymbol{a(j) = 2j-1}$
$1$$\to$$a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$2$$\to$$a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$3$$\to$$a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$4$$\to$$a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7$

Summe berechnen

$$ \begin{align*} \sum_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) + (2 \cdot {\color{red}4} - 1) \\ &= 1 + 3 + 5 + 7 \\[5px] &= 16 \end{align*} $$

Rechenregeln 

Vorziehen konstanter Faktoren

$$ \sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} a_k $$

Aufspalten einer Summe

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k \quad (1<m<n) $$

Addition von Summen gleicher Länge

$$ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k + c_k + \ldots) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k + \sum_{k=1}^{n} c_k + \ldots $$

Besteht die Funktion aus einer Summe (Differenz), müssen Klammern gesetzt werden.

Umnummerierung (Indexverschiebung)

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1},\quad \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l} $$

Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen

$$ \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m} a_{ik} = \sum_{k=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_{ik} $$

Häufige Fehler 

Um Fehler zu vermeiden, solltest du dir merken:

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=1}^{n} a_k \cdot \sum_{k=1}^{n} b_k $$

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \neq \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)^2 $$

Besondere Summen 

Fall: $\boldsymbol{m = n}$

$$ \sum_{k=n}^{n} a_k = a_n $$

Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht die Summe aus einem einzigen Summanden $a_n$.

Beispiel 4 

$$ \sum_{k=2}^{2} a_k = a_2 $$

Beispiel 5 

$$ \sum_{k=5}^{5} k = 5 $$

Beispiel 6 

$$ \sum_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14 $$

Fall: $\boldsymbol{m > n}$

$$ \sum_{k=m}^{n} a_k = 0 $$

Ist der Startwert größer als der Endwert, ist die Summe leer. Eine leere Summe wird als $0$ definiert. Zur Erinnerung: $0$ ist das neutrale Element der Addition.

Beispiel 7 

$$ \sum_{k=2}^{1} a_k = 0 $$

Beispiel 8 

$$ \sum_{k=4}^{3} 3k = 0 $$

Beispiel 9 

$$ \sum_{k=6}^{2} 9 = 0 $$

$$ \sum_{k=m}^{n} c = (n - m {\color{red}\;+\;1}) \cdot c $$

Wenn in der Summe eine Konstante – also ein Wert, der von der Laufvariable unabhängig ist – steht, kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden.

Beispiel 10 

$$ \begin{align*} \sum_{k=3}^{8} 4 &= (8 - 3 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 \\[5px] &= 24 \end{align*} $$

Beispiel 11 

$$ \begin{align*} \sum_{k=8}^{9} 3 &= (9 - 8 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 3 \\ &= 2 \cdot 3 \\[5px] &= 6 \end{align*} $$

Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen, wenn der Startwert $1$ ist:

$$ \sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c $$

Beispiel 12 

$$ \sum_{k=1}^{5} 6 = 5 \cdot 6 = 30 $$

Beispiel 13 

$$ \sum_{k=1}^{4} 8 = 4 \cdot 8 = 32 $$

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