Summenzeichen

In diesem Kapitel lernen wir das Summenzeichen kennen.

Das Summenzeichen \(\sum\) dient zur vereinfachten Darstellung von Summen.
[Das Zeichen \(\sum\) ist das große Sigma aus dem griechischen Alphabet.]

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n\]

(gesprochen: Summe über \(a_k\) von \(k = 1\) bis \(k = n\))

Bestandteile der Summenschreibweise

  • \(k\) heißt Laufvariable, Laufindex oder Summationsvariable
  • \(1\) heißt Startwert oder untere Grenze
  • \(n\) heißt Endwert oder obere Grenze
  • \(a_k\) ist die Funktion bezüglich der Laufvariable

Bezeichnung der Laufvariablen

Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{j=1}^{n} a_j\]

Berechnung der Summe

Man erhält alle Summanden der Summe, indem man in \(a_k\) für die Variable \(k\) zunächst \(1\) (= Startwert), dann \(2\) usw. und schließlich \(n\) (= Endwert) einsetzt.

Anwendung des Summenzeichens

Im Folgenden schauen wir uns anhand von drei Beispielen an, wie man Summen mit Hilfe des Summenzeichens berechnet.

Beispiel 1

Berechne folgende Summe

\[\sum_{k=1}^{5} k^2\]

Wenn wir die Summe untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(k\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(5\)
  • Funktion: \(a(k) = k^2\)
  • \(k\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(k = 1\) (Startwert)
    > \(k = 2\)
    > \(k = 3\)
    > \(k = 4\)
    > \(k = 5\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(k) = k^2\)
für alle Werte von \(k\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(k) = k^2\)
1.) Setze \(k = 1\) \(a(1) = 1^2 = 1\)
2.) Setze \(k = 2\) \(a(2) = 2^2 = 4\)
3.) Setze \(k = 3\) \(a(3) = 3^2 = 9\)
4.) Setze \(k = 4\) \(a(4) = 4^2 = 16\)
5.) Setze \(k = 5\) \(a(5) = 5^2 = 25\)

Im zweiten Schritt zählen wir die berechneten Funktionswerte zusammen.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis der gesuchten Summe.

\[\begin{align*}
\sum_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 + {\color{maroon}2}^2 + {\color{maroon}3}^2 + {\color{maroon}4}^2 + {\color{red}5}^2\\
&= 1 + 4 + 9 + 16 + 25\\
&= 55
\end{align*}\]

Beispiel 2

Berechne folgende Summe

\[\sum_{i=5}^{8} 3i\]

Wenn wir die Summe untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(i\)
  • Startwert: \(5\)
  • Endwert: \(8\)
  • Funktion: \(a(i) = 3i\)
  • \(i\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(i = 5\) (Startwert)
    > \(i = 6\)
    > \(i = 7\)
    > \(i = 8\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(i) = 3i\)
für alle Werte von \(i\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(i) = 3i\)
1.) Setze \(i = 5\) \(a(5) = 3 \cdot 5 = 15\)
2.) Setze \(i = 6\) \(a(6) = 3 \cdot 6 = 18\)
3.) Setze \(i = 7\) \(a(7) = 3 \cdot 7 = 21\)
4.) Setze \(i = 8\) \(a(8) = 3 \cdot 8 = 24\)

Im zweiten Schritt zählen wir die berechneten Funktionswerte zusammen.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis der gesuchten Summe.

\[\begin{align*}
\sum_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= 3 \cdot {\color{red}5} + 3 \cdot {\color{maroon}6} + 3 \cdot {\color{maroon}7} + 3 \cdot {\color{red}8}\\
&= 15 + 18 + 21 + 24\\
&= 78
\end{align*}\]

Beispiel 3

Berechne folgende Summe

\[\sum_{j=1}^{4} (2j-1)\]

Wenn wir die Summe untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(j\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(4\)
  • Funktion: \(a(j) = 2j-1\)
  • \(j\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(j = 1\) (Startwert)
    > \(j = 2\)
    > \(j = 3\)
    > \(j = 4\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(j) = 2j-1\)
für alle Werte von \(j\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(j) = 3j\)
1.) Setze \(j = 1\) \(a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\)
2.) Setze \(j = 2\) \(a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3\)
3.) Setze \(j = 3\) \(a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\)
4.) Setze \(j = 4\) \(a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7\)

Im zweiten Schritt zählen wir die berechneten Funktionswerte zusammen.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis der gesuchten Summe.

\[\begin{align*}
\sum_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) + (2 \cdot {\color{red}4} - 1)\\
&= 1 + 3 + 5 + 7\\
&= 16
\end{align*}\]

Rechenregeln
im Zusammenhang mit dem Summenzeichen

In der folgenden Übersicht findest du einige wichtige Rechenregeln.

1. Vorziehen konstanter Faktoren

\[\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} a_k\]

2. Aufspalten einer Summe

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k \quad (1<m<n)\]

3. Addition von Summen gleicher Länge

\[\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k + c_k + \ldots) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k + \sum_{k=1}^{n} c_k + \ldots\]

Besteht die Funktion aus einer Summe (Differenz), müssen Klammern gesetzt werden.

4. Umnummerierung

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1},\quad \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l}\]

5. Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m} a_{ik} = \sum_{k=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_{ik}\]

Häufige Fehler

Um Fehler zu vermeiden, solltest du dir merken:

\[\sum_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=1}^{n} a_k \cdot \sum_{k=1}^{n} b_k\]

\[\sum_{k=1}^{n} a_k^2 \neq \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)^2\]

Besondere Summen

  Beispiele

Fall: \(m = n\)

Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht die Summe aus einem einzigen Summanden \(a_n\).

\[\sum_{k=n}^{n} a_k = a_n\]

\[\sum_{k=2}^{2} a_k = a_2\]

\[\sum_{k=5}^{5} k = 5\]

\[\sum_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14\]

Fall: \(m > n\)

Ist der Startwert größer als der Endwert, ist die Summe leer.
Eine leere Summe wird als 0 definiert.

\[\sum_{k=m}^{n} a_k = 0\]

Begründung: \(0\) ist das "neutrale Element" der Addition.

\[\sum_{k=2}^{1} a_k = 0\]

\[\sum_{k=4}^{3} 3k = 0\]

\[\sum_{k=6}^{2} 9 = 0\]

Wenn in der Summe eine Konstante steht - also ein Wert, der von der Laufvariablen unabhängig ist -, kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden.

\[\sum_{k=m}^{n} c = (n - m {\color{red}\;+\;1}) \cdot c\]

\[\begin{align*}\sum_{k=3}^{8} 4 &= (8 - 3 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 = 24\end{align*}\]

\[\begin{align*}\sum_{k=8}^{9} 3 &= (9 - 8 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 3 \\ &= 2 \cdot 3 = 6 \end{align*}\]

Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen,
wenn der Startwert 1 ist.

\[\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c\]

\[\sum_{k=1}^{5} 6 = 5 \cdot 6 = 30\]

\[\sum_{k=1}^{4} 8 = 4 \cdot 8 = 32\]

Mit dem Summenzeichen haben wir eine Möglichkeit kennengelernt, Summen vereinfacht darzustellen. Bei größeren Summen kannst du dir auf diese Weise eine Menge Schreibarbeit sparen. Auch Produkte lassen sich vereinfacht darstellen (> Produktzeichen).

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!