Summenzeichen

In diesem Kapitel lernen wir das Summenzeichen kennen.

Das Summenzeichen \(\sum\) dient zur vereinfachten Darstellung von Summen.
[Das Zeichen \(\sum\) ist das große Sigma aus dem griechischen Alphabet.]

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n\]

(gesprochen: Summe über \(a_k\) von \(k = 1\) bis \(k = n\))

Bestandteile der Summenschreibweise

  • \(k\) heißt Laufvariable, Laufindex oder Summationsvariable
  • \(1\) heißt Startwert oder untere Grenze
  • \(n\) heißt Endwert oder obere Grenze
  • \(a_k\) ist die Funktion bezüglich der Laufvariable

Bezeichnung der Laufvariablen

Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{j=1}^{n} a_j\]

Berechnung der Summe

Man erhält alle Summanden der Summe, indem man in \(a_k\) für die Variable \(k\) zunächst \(1\) (= Startwert), dann \(2\) usw. und schließlich \(n\) (= Endwert) einsetzt.

Anwendung des Summenzeichens

Im Folgenden schauen wir uns anhand von drei Beispielen an, wie man Summen mit Hilfe des Summenzeichens berechnet.

Beispiel 1

Berechne folgende Summe

\[\sum_{k=1}^{5} k^2\]

Wenn wir die Summe untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(k\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(5\)
  • Funktion: \(a(k) = k^2\)
  • \(k\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(k = 1\) (Startwert)
    > \(k = 2\)
    > \(k = 3\)
    > \(k = 4\)
    > \(k = 5\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(k) = k^2\)
für alle Werte von \(k\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(k) = k^2\)
1.) Setze \(k = 1\) \(a(1) = 1^2 = 1\)
2.) Setze \(k = 2\) \(a(2) = 2^2 = 4\)
3.) Setze \(k = 3\) \(a(3) = 3^2 = 9\)
4.) Setze \(k = 4\) \(a(4) = 4^2 = 16\)
5.) Setze \(k = 5\) \(a(5) = 5^2 = 25\)

Im zweiten Schritt zählen wir die berechneten Funktionswerte zusammen.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis der gesuchten Summe.

\[\begin{align*}
\sum_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 + {\color{maroon}2}^2 + {\color{maroon}3}^2 + {\color{maroon}4}^2 + {\color{red}5}^2\\
&= 1 + 4 + 9 + 16 + 25\\
&= 55
\end{align*}\]

Beispiel 2

Berechne folgende Summe

\[\sum_{i=5}^{8} 3i\]

Wenn wir die Summe untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(i\)
  • Startwert: \(5\)
  • Endwert: \(8\)
  • Funktion: \(a(i) = 3i\)
  • \(i\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(i = 5\) (Startwert)
    > \(i = 6\)
    > \(i = 7\)
    > \(i = 8\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(i) = 3i\)
für alle Werte von \(i\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(i) = 3i\)
1.) Setze \(i = 5\) \(a(5) = 3 \cdot 5 = 15\)
2.) Setze \(i = 6\) \(a(6) = 3 \cdot 6 = 18\)
3.) Setze \(i = 7\) \(a(7) = 3 \cdot 7 = 21\)
4.) Setze \(i = 8\) \(a(8) = 3 \cdot 8 = 24\)

Im zweiten Schritt zählen wir die berechneten Funktionswerte zusammen.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis der gesuchten Summe.

\[\begin{align*}
\sum_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= 3 \cdot {\color{red}5} + 3 \cdot {\color{maroon}6} + 3 \cdot {\color{maroon}7} + 3 \cdot {\color{red}8}\\
&= 15 + 18 + 21 + 24\\
&= 78
\end{align*}\]

Beispiel 3

Berechne folgende Summe

\[\sum_{j=1}^{4} (2j-1)\]

Wenn wir die Summe untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(j\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(4\)
  • Funktion: \(a(j) = 2j-1\)
  • \(j\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(j = 1\) (Startwert)
    > \(j = 2\)
    > \(j = 3\)
    > \(j = 4\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(j) = 2j-1\)
für alle Werte von \(j\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(j) = 3j\)
1.) Setze \(j = 1\) \(a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\)
2.) Setze \(j = 2\) \(a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3\)
3.) Setze \(j = 3\) \(a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\)
4.) Setze \(j = 4\) \(a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7\)

Im zweiten Schritt zählen wir die berechneten Funktionswerte zusammen.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis der gesuchten Summe.

\[\begin{align*}
\sum_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) + (2 \cdot {\color{red}4} - 1)\\
&= 1 + 3 + 5 + 7\\
&= 16
\end{align*}\]

Rechenregeln
im Zusammenhang mit dem Summenzeichen

In der folgenden Übersicht findest du einige wichtige Rechenregeln.

1. Vorziehen konstanter Faktoren

\[\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} a_k\]

2. Aufspalten einer Summe

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k \quad (1<m<n)\]

3. Addition von Summen gleicher Länge

\[\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k + c_k + \ldots) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k + \sum_{k=1}^{n} c_k + \ldots\]

Besteht die Funktion aus einer Summe (Differenz), müssen Klammern gesetzt werden.

4. Umnummerierung

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1},\quad \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l}\]

5. Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m} a_{ik} = \sum_{k=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_{ik}\]

Häufige Fehler

Um Fehler zu vermeiden, solltest du dir merken:

\[\sum_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=1}^{n} a_k \cdot \sum_{k=1}^{n} b_k\]

\[\sum_{k=1}^{n} a_k^2 \neq \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)^2\]

Besondere Summen

  Beispiele

Fall: \(m = n\)

Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht die Summe aus einem einzigen Summanden \(a_n\).

\[\sum_{k=n}^{n} a_k = a_n\]

\[\sum_{k=2}^{2} a_k = a_2\]

\[\sum_{k=5}^{5} k = 5\]

\[\sum_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14\]

Fall: \(m > n\)

Ist der Startwert größer als der Endwert, ist die Summe leer.
Eine leere Summe wird als 0 definiert.

\[\sum_{k=m}^{n} a_k = 0\]

Begründung: \(0\) ist das "neutrale Element" der Addition.

\[\sum_{k=2}^{1} a_k = 0\]

\[\sum_{k=4}^{3} 3k = 0\]

\[\sum_{k=6}^{2} 9 = 0\]

Wenn in der Summe eine Konstante steht - also ein Wert, der von der Laufvariablen unabhängig ist -, kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden.

\[\sum_{k=m}^{n} c = (n - m {\color{red}\;+\;1}) \cdot c\]

\[\begin{align*}\sum_{k=3}^{8} 4 &= (8 - 3 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 = 24\end{align*}\]

\[\begin{align*}\sum_{k=8}^{9} 3 &= (9 - 8 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 3 \\ &= 2 \cdot 3 = 6 \end{align*}\]

Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen,
wenn der Startwert 1 ist.

\[\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c\]

\[\sum_{k=1}^{5} 6 = 5 \cdot 6 = 30\]

\[\sum_{k=1}^{4} 8 = 4 \cdot 8 = 32\]

Mit dem Summenzeichen haben wir eine Möglichkeit kennengelernt, Summen vereinfacht darzustellen. Bei größeren Summen kannst du dir auf diese Weise eine Menge Schreibarbeit sparen. Auch Produkte lassen sich vereinfacht darstellen (> Produktzeichen).

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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