Mitternachtsformel

In diesem Artikel lernst du, wie man quadratische Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) löst. Bevor wir uns anschauen, wie das funktioniert, fragen wir uns, was man unter quadratischen Gleichungen überhaupt versteht.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet

\(ax^2 + bx + c = 0\)

Die Mitternachtsformel zum Lösen einer quadratischen Gleichung lautet

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Mitternachtsformel - Beispiel

Allgemein

\({\colorbox{Apricot}{\(a\)}}x^2 + {\colorbox{orange}{\(b\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(c\)}} = 0\)

\[x_{1,2} = \frac{-{\colorbox{orange}{\(b\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\(b\)}}^2 - 4{\colorbox{Apricot}{\(a\)}}{\colorbox{goldenrod}{\(c\)}}}}{2{\colorbox{Apricot}{\(a\)}}}\]

Beispiel

\({\colorbox{Apricot}{\(2\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-4\)}}x {\colorbox{goldenrod}{\(-16\)}} = 0\)

\[x_{1,2} = \frac{-{\colorbox{orange}{\((-4)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-4)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\((-16)\)}}}}{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(2\)}}} = \frac{4 \pm 12}{4}\]

Jetzt lösen wir noch das \(\pm\)-Zeichen (Plus-Minus-Zeichen) auf.

Demzufolge gibt es zwei Lösungen:


\[x_1 = \frac{4 - 12}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]
\[x_2 = \frac{4 + 12}{4} = \frac{16}{4} = 4\]

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch quadratische Gleichungen lösen kannst?

Diskriminante einer quadratischen Gleichung

Der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel (gelb markiert) heißt "Diskriminante der quadratischen Gleichung" und macht eine Aussage über die Lösbarkeit der Gleichung.

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{\(b^2 - 4ac\)}}}}{2a}\]

Die Diskriminante \(D\) ist

\(D = {\colorbox{yellow}{\(b^2 - 4ac\)}}\)

  • gilt \(D > 0\), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen \(x_1\) und \(x_2\)
  • gilt \(D = 0\), gibt es eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2)
  • gilt \(D < 0\), existiert keine reelle Lösung

Zu jedem dieser drei Lösungsfälle schauen wir uns im nächsten Abschnitt ein Beispiel an.

Mitternachtsformel: Mögliche Lösungen

1. Zwei verschiedene reelle Lösungen

\(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{Red}{}{\(16\)}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Für die Diskriminante gilt: \(D > 0\)}}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm 4}{4}\]

\[x_{1} = \frac{8 - 4}{4} = \frac{4}{4}  = 1\]

\[x_{2} = \frac{8 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

Es gibt zwei Lösungen:
\(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\)

2. Eine reelle Lösung

\(2x^2 - 8x + 8 = 0\)

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{4}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{Red}{}{\(0\)}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Für die Diskriminante gilt: \(D = 0\)}}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm 0}{4}\]

\[x_{1} = \frac{8 - 0}{4} = \frac{8}{4}  = 2\]

\[x_{2} = \frac{8 + 0}{4} = \frac{8}{4} = 2\]

Es gibt eine Lösung:
\(x = 2\)

3. Keine reelle Lösung

\(2x^2 - 8x + 11 = 0\)

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = \frac{8 \pm \sqrt{{\fcolorbox{Red}{}{\(-24\)}}}}{4} \qquad {\colorbox{yellow}{Für die Diskriminante gilt: \(D < 0\)}}\]

Die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert!
Daraus folgt: \(\mathbb{L} = \{\}\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\) ist in diesem Fall leer.

Vergleich: Mitternachtsformel vs. pq-Formel

Gleichung Formel

\({\colorbox{Apricot}{\(a\)}}x^2 + {\colorbox{orange}{\(b\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(c\)}} = 0\)
(Allgemeine Form)

\[x_{1,2} = \frac{-{\colorbox{orange}{\(b\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\(b\)}}^2 - 4{\colorbox{Apricot}{\(a\)}}{\colorbox{goldenrod}{\(c\)}}}}{2{\colorbox{Apricot}{\(a\)}}}\]

\(x^2 + {\colorbox{orange}{\(p\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(q\)}} = 0\)
(Normalform)

\[x_{1,2} = -\frac{{\colorbox{orange}{\(p\)}}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{{\colorbox{orange}{\(p\)}}}{2}\right)^2-{\colorbox{goldenrod}{\(q\)}}}\]

Neben der Mitternachtsformel kann man noch mit der pq-Formel oder dem Satz von Vieta quadratische Gleichungen lösen. Wie das funktioniert, erfährst du in den folgenden Kapiteln.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
Über das Kontaktformular kannst du mit dem Autor direkt in Verbindung treten.