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Logarithmusgesetze

In diesem Kapitel schauen wir uns die Logarithmusgesetze an.

Notwendiges Vorwissen: Logarithmus

Es lohnt sich, wenn man sich folgende Zusammenhänge merkt:

  • \(\log_b b = 1\): Der Logarithmus zur Basis ist immer 1 (wegen \(b^1 = b\)).
  • \(\log_b 1 = 0\): Der Logarithmus zu 1 ist immer 0 (wegen \(b^0 = 1\)).

Beim Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Gesetze:

Produktregel

Der Logarithmus eines Produktes entspricht der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.

\(\log_b(P \cdot Q) = \log_b P + \log_b Q\)

\(\log_2({\color{RedOrange}4} \cdot {\color{RoyalBlue}8}) = \log_2 {\color{RedOrange}4} + \log_2 {\color{RoyalBlue}8} = 2 + 3 = 5\)

\(\log_3({\color{RedOrange}9} \cdot {\color{RoyalBlue}81}) = \log_3 {\color{RedOrange}9} + \log_3 {\color{RoyalBlue}81} = 2 + 4 = 6\)

\(\log_5({\color{RedOrange}5} \cdot {\color{RoyalBlue}25}) = \log_5 {\color{RedOrange}5} + \log_5 {\color{RoyalBlue}25} = 1 + 2 = 3\)

Quotientenregel

Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmuses des Nenners.

\[\log_b\left(\frac{P}{Q}\right) = \log_b P - \log_b Q\]

\[\log_4\left(\frac{{\color{RedOrange}1}}{{\color{RoyalBlue}16}}\right) = \log_4 {\color{RedOrange}1} - \log_4 {\color{RoyalBlue}16} = 0 - 2 = -2\]

\[\log_6\left(\frac{{\color{RedOrange}1}}{{\color{RoyalBlue}216}}\right) = \log_6 {\color{RedOrange}1} - \log_6 {\color{RoyalBlue}216} = 0 - 3 = -3\]

\[\log_2\left(\frac{{\color{RedOrange}32}}{{\color{RoyalBlue}1024}}\right) = \log_2 {\color{RedOrange}32} - \log_2 {\color{RoyalBlue}1024} = 5 - 10 = -5\]

Potenzregel 1

Der Logarithmus einer Potenz entspricht dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis der Potenz.

\(\log_b P^n = n \cdot \log_b P\)

\(\log_3 81^{\color{red}4} = {\color{red}4} \cdot \log_3 81 = 4 \cdot 4 = 16\)

\(\log_7 7^{\color{red}2} = {\color{red}2} \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2\)

\(\log_2 1024^{\color{red}3} = {\color{red}3} \cdot \log_2 1024 = 3 \cdot 10 = 30\)

Potenzregel 2

Der Logarithmus einer Wurzel entspricht dem Logarithmus des Radikanten geteilt durch den Wurzelexponenten.

\[\log_b \sqrt[n]{P} = \frac{\log_b P}{n}\]

\[\log_5 \sqrt[{\color{red}5}]{125} = \frac{\log_5 125}{{\color{red}5}} = \frac{3}{5}\]

\[\log_3 \sqrt[{\color{red}2}]{9} = \frac{\log_3 9}{{\color{red}2}} = \frac{2}{2} = 1\]

\[\log_6 \sqrt[{\color{red}6}]{216} = \frac{\log_6 216}{{\color{red}6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Zur "Potenzregel 2":
Mit Hilfe der Potenzgesetze können wir eine Wurzel als Potenz schreiben.

Es gilt: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)

Mit diesem Wissen verstehen wir den Zusammenhang zwischen den beiden Potenzregeln:

\[\log_5 \sqrt[5]{125} = \log_5 125^{\frac{1}{5}} =  \frac{1}{5} \cdot \log_5 125 = \frac{\log_5 125}{5} = \frac{3}{5}\]

Basiswechsel

Der Logarithmus zu einer Basis \(a\) lässt sich folgendermaßen zu einem Logarithmus zur Basis \(b\) umformen

\[\log_a P = \frac{\log_b P}{\log_b a}\]

Beispiel

Gegeben ist der Logarithmus

\(\log_2 8\)

Dessen Basis wollen wir zur Basis 4 umformen. Es gilt

\[\log_2 8 = \frac{\log_4 8}{\log_4 2}\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!