Logarithmus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Logarithmus (Plural: Logarithmen) ist.

Problemstellung

In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}\) betrachtet.
Dabei waren die Basis \({\color{green}b}\) und der Exponent \({\color{green}n}\) bekannt.
Gesucht war der Potenzwert \({\color{red}x}\).

Beispiel

\(10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100\)

In der Wurzelrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}\) betrachtet.
Dabei waren der Exponent \({\color{green}n}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) bekannt.
Gesucht war die Basis \({\color{red}x}\).

Beispiel

\(x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10\)

In der Logarithmusrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{red}x} = {\color{green}a}\).
Dabei sind die Basis \({\color{green}b}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) gegeben.
Gesucht ist der Exponent \({\color{red}x}\).

Beispiel

\(10^x = 100 \quad \rightarrow \quad x = 2\)

Man bezeichnet den gesuchten Exponenten \(x\) auch mit \(\log_b a\) (Logarithmus von a zur Basis b).

Definition eines Logarithmus

\(b^x = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b a \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } a,b > 0 \text{ und } b \neq 1\)

Sprechweise

\(\underbrace{b^x = a}_{\text{b hoch x gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \log_b a}_{\text{x gleich Logarithmus von a zur Basis b}}\)

Bezeichnungen

In der Gleichung \(b^x = a\) gilt

  • \(b\) = Basis
  • \(x\) = Exponent
  • \(a\) = Potenzwert

In der Gleichung \(\log_b a = x\) gilt

  • \(b\) = (Logarithmus-)Basis
  • \(a\) = Numerus
  • \(x\) = Logarithmus(-wert)

Einschränkungen

1.) Die Logarithmusbasis \(b\) muss größer als 0 sein (\(b > 0\))

Beispiel 1

\(\log_{0} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 0^x = 10\)

Die Gleichung \(0^x = 10\) ist unlösbar,
denn 0 hoch irgendeine Zahl \(x\) ist immer gleich 0.

Beispiel 2

\(\log_{-2} 8 = x \quad \Leftrightarrow \quad (-2)^x = 8\)

Auch die Gleichung \((-2)^x = 8\) ist unlösbar.

2.) Die Logarithmusbasis \(b\) darf nicht gleich 1 sein (\(b \neq 1\))

Beispiel

\(\log_{1} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 1^x = 10\)

Die Gleichung \(1^x = 10\) ist unlösbar,
denn 1 hoch irgendeine Zahl \(x\) ist immer gleich 1.

3.) Der Numerus \(a\) muss größer als 0 sein (\(a > 0\))

Beispiel 1

\(\log_{10} -100 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = -100\)

Die Gleichung \(10^x = -100\) ist unlösbar,
denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.

Beispiel 2

\(\log_{10} 0 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = 0\)

Die Gleichung \(10^x = 0\) ist unlösbar,
denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.
Vorsicht! Laut den Potenzgesetzen gilt: \(10^0 = 1\).

Besondere Logarithmen

  • Binärer Logarithmus = Logarithmus zur Basis 2
    Statt \(\log_{2} a\) schreibt man meist \(\text{lb } a\) oder \(\text{ld } a\).

* Die Zahl \(e\) („Eulersche Zahl“) ist eine Konstante wie die Zahl \(\pi\).
   Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich 2,7182818284590452…

Außerdem lohnt es sich, wenn man sich folgende Zusammenhänge merkt:

  • \(\log_b b = 1\): Der Logarithmus zur Basis ist immer 1 (wegen \(b^1 = b\)).
  • \(\log_b 1 = 0\): Der Logarithmus zu 1 ist immer 0 (wegen \(b^0 = 1\)).

Zusammenfassung

\(\log_b a = x \quad \Leftrightarrow \quad b^x = a\)

Als Logarithmus einer Zahl \(a\) bezeichnet man den Exponenten \(x\), mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis \(b\), potenziert werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten.

Beispiele

\(\log_2 8 = {\color{red}3} \quad (\text{wegen } 2^{\color{red}3} = 8)\)

\(\log_3 9 = {\color{red}2} \quad (\text{wegen } 3^{\color{red}2} = 9)\)

\(\log_4 4 = {\color{red}1} \quad (\text{wegen } 4^{\color{red}1} = 4)\)

Logarithmusgesetze

Wie man mit Logarithmen rechnet, erfährst du im Kapitel Logarithmusgesetze.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!