Steigungsdreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungsdreieck versteht.

Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das nebenstehende Verkehrzeichen aufgefallen.

Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12 prozentige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich?

Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet,
dass pro 100 m in waagerechter Richtung
die Höhe um 12 m zunimmt.

Es gilt:
\[\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{12}{100} = 12\:\%\]

In der Mathematik begegnen wir der Steigung zum ersten Mal im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(y = mx + n\). Dabei steht \(m\) für die Steigung.

Der Graph einer linearen Funktion
ist eine Gerade.

Um die Steigung der Geraden zu berechnen, brauchen wir zunächst zwei beliebige Punkte.

Jetzt müssen wir den Höhenunterschied und den Längenunterschied der Punkte berechnen.

Um den Höhenunterschied zu berechnen, brauchen wir die \(y\)-Koordinaten der Punkte.

\(\text{Höhenunterschied} = y_1 - y_0\)

Um den Längenunterschied zu berechnen, brauchen wir die \(x\)-Koordinaten der Punkte.

\(\text{Längenunterschied} = x_1 - x_0\)

Für die Steigung \(m\) der Geraden gilt: \[m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden bezeichnet man als Steigungsformel.

Schau dir die Abbildung noch einmal gut an!
Erkennst du das Steigungsdreieck?

Wir können festhalten:
Die Steigung einer Geraden entspricht dem Verhältnis der Seitenlängen des Steigungsdreiecks von Seitenlänge „y-Richtung“ zu Seitenlänge „x-Richtung“. \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]

Nachdem du dich jetzt schon ein wenig mit linearen Funktionen auskennst, bist du endlich bereit, Aufgaben selbständig zu lösen. In unserem neuen eBook mit dem Titel "Lineare Funktionen" findest du eine Vielzahl von Aufgaben, die dich gezielt auf die anstehende Prüfung vorbereiten.

Lineare Funktionen - eBook-Cover ✔ 188 Aufgaben (sortiert nach 20 Aufgabentypen)
✔ kommentierte Musterlösungen
✔ ideal zur Prüfungsvorbereitung
✔ geeignet für alle Bundesländer und Schularten
✔ sofort als PDF herunterladen
✔ nur 3,90 €*
✔ Bezahlung mit Kreditkarte oder PayPal
     *Endpreis, keine Ausweisung der Mehrwertsteuer gemäß § 19 UStG

Jetzt kaufen und herunterladen

14-Tage-Geld-zurück-Garantie (> Widerrufsbelehrung)

Leseprobe: Lineare Funktionen - Erklärungen, Aufgaben, Lösungen

Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
Lineare Funktionen - Aufgaben [eBook zum Download]

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
Über das Kontaktformular kannst du mit dem Autor direkt in Verbindung treten.