Steigungsdreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungsdreieck versteht.

Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das nebenstehende Verkehrzeichen aufgefallen.

Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12 prozentige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich?

Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet,
dass pro 100 m in waagerechter Richtung
die Höhe um 12 m zunimmt.

Es gilt:
\[\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{12}{100} = 12\:\%\]

In der Mathematik begegnen wir der Steigung zum ersten Mal im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(y = mx + n\). Dabei steht \(m\) für die Steigung.

Der Graph einer linearen Funktion
ist eine Gerade.

Um die Steigung der Geraden zu berechnen, brauchen wir zunächst zwei beliebige Punkte.

Jetzt müssen wir den Höhenunterschied und den Längenunterschied der Punkte berechnen.

Um den Höhenunterschied zu berechnen, brauchen wir die \(y\)-Koordinaten der Punkte.

\(\text{Höhenunterschied} = y_1 - y_0\)

Um den Längenunterschied zu berechnen, brauchen wir die \(x\)-Koordinaten der Punkte.

\(\text{Längenunterschied} = x_1 - x_0\)

Für die Steigung \(m\) der Geraden gilt: \[m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden bezeichnet man als Steigungsformel.

Schau dir die Abbildung noch einmal gut an!
Erkennst du das Steigungsdreieck?

Wir können festhalten:
Die Steigung einer Geraden entspricht dem Verhältnis der Seitenlängen des Steigungsdreiecks von Seitenlänge „y-Richtung“ zu Seitenlänge „x-Richtung“. \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!