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Lineare Funktionen

In diesem Kapitel lernst du lineare Funktionen kennen.

Falls du dich zum ersten Mal mit linearen Funktionen beschäftigst, empfehle ich dir zunächst folgendes Einführungsvideo anzugucken.

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet

\(y = mx + n\)

Anstelle von \(y = mx + n\) verwendet man oft die Schreibweise \(f(x) = mx + n\).

Beispiele für lineare Funktionen

\(y = x\)

\(y = \frac{1}{2}x\)

\(y = -x + 1\)

\(f(x) = 2x + 4\)

\(f(x) = -3x + 7\)

Einordnung linearer Funktionen

Im Laufe der Zeit wirst du verschiedene Funktionen kennenlernen. Die folgende Tabelle soll dir dabei helfen, die linearen Funktionen einzuordnen und von anderen Funktionen abzugrenzen.

Typ Normalform Beispiel
Konstante Funktion \(f(x) = c\) \(f(x) = 5\)
Lineare Funktion \(f(x) = mx + n\) \(f(x) = 2x + 5\)
Quadratische Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) \(f(x) = 3x^2 + 2x + 4\)
Kubische Funktion \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) \(f(x) = 4x^3 + 5x^2 + 3x + 2\)

Bestandteile einer linearen Funktion

Da du jetzt weißt, wie lineare Funktionen aussehen, können wir uns mit der Bedeutung der einzelnen Bestandteile auseinandersetzen.

Gegeben ist die Normalform einer linearen Funktion:

\(y = mx + n\)

  • \(y\) = abhängige Variable, \(y\)-Wert, Funktionswert
  • \(m\) = Steigung
  • \(x\) = unabhängige Variable, \(x\)-Wert, (Funktions-)Argument
  • \(n\) = y-Achsenabschnitt

Der \(y\)-Wert ist davon abhängig, was man für \(x\) in die Funktionsgleichung einsetzt. Man bezeichnet \(y\) deshalb als abhängige Variable. Entsprechend ist \(x\) die unabhängige Variable. Was es mit der Steigung \(m\) und dem y-Achsenabschnitt \(n\) auf sich hat, schauen wir uns in den nächsten beiden Abschnitten an.

Graph einer linearen Funktion

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Im Koordinatensystem ist die einfachste und bekannteste lineare Funktion eingezeichnet:

\(y = x\)

Dabei handelt es sich um eine steigende Gerade, die durch den Koordinatenursprung (= Nullpunkt) verläuft.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

  • Gilt \(n > 0\), ist die Gerade nach oben verschoben.
  • Gilt \(n < 0\), ist die Gerade nach unten verschoben.

Sonderfall: Gilt \(n = 0\), verläuft die Gerade durch den Ursprung.

Ist der y-Achsenabschnitt positiv (\(n > 0\)),
so ist die Gerade (vom Nullpunkt aus betrachtet) nach oben verschoben.

Hier gilt: \(n = 2\).

Ist der y-Achsenabschnitt negativ (\(n < 0\)),
so ist die Gerade (vom Nullpunkt aus betrachtet) nach unten verschoben.

Hier gilt: \(n = -3\).

Gilt für den y-Achsenabschnitt \(n = 0\),
so verläuft die Gerade durch den (Koordinaten-)Ursprung.

Eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft, bezeichnet man auch als Ursprungsgerade.

Interaktive Graphik

Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der linearen Funktion in Abhängigkeit des Achsenabschnitts \(n\) ändert.

Steigung einer linearen Funktion

  • Gilt \(m > 0\), steigt die Gerade.
  • Gilt \(m < 0\), fällt die Gerade.

Sonderfall: Gilt \(m = 0\), ist die Gerade waagrecht.

Ist die Steigung positiv (\(m > 0\)),
so steigt die Gerade.

Hier gilt: \(m = 1\).

Ist die Steigung negativ (\(m < 0\)),
so fällt die Gerade.

Hier gilt: \(m = -1\).

Gilt für die Steigung \(m = 0\),
verläuft die Gerade waagrecht.

In der linken Abbildung sind folgende drei waagrechte Geraden eingezeichnet:
\(y = \phantom{-}3 \qquad \rightarrow \quad n = \phantom{-}3\)
\(y = \phantom{-}0 \qquad \rightarrow \quad n = \phantom{-}0\)
\(y = -2 \qquad \rightarrow \quad n = -2\)

Mehr zu diesem Thema steht im Artikel zu den konstanten Funktionen.

Interaktive Graphik

Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der linearen Funktion in Abhängigkeit der Steigung \(m\) ändert.

Ausnahme: Senkrechte Gerade

Vorsicht Fehlerquelle!

Eine senkrechte Gerade ist keine Funktion.

Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet ist.
(vgl. Definition einer Funktion)

In der nebenstehenden Abbildung sind einem \(x\)-Wert (z.B. \(x = -3\)) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet.

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
Lineare Funktionen - Aufgaben [eBook zum Download]

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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