Umkehrfunktion bilden
(Lineare Funktionen)

In diesem Kapitel lernen wir, die Umkehrfunktion einer linearen Funktion zu bilden.

Notwendiges Vorwissen: Umkehrfunktion

Problemstellung

Bislang haben wir immer aus dem \(x\)-Wert (Argument) einen \(y\)-Wert (Funktionswert) berechnet.

Beispiel

Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f\colon\; \text{Euro } x \longmapsto \text{US-Dollar } y\)
Die Funktion \(f\) ordnet jedem Euro-Betrag \(x\) einen Betrag \(y\) in Dollar zu.

In einigen Fällen ist es aber genau andersherum:
Gegeben ist der Funktionswert \(y\) einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige \(x\)-Wert.

Beispiel (Fortsetzung)

Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone.
Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar } y \longmapsto \text{Euro } x\)
Die Funktion \(f^{-1}\) ordnet jedem Dollar-Betrag \(y\) einen Betrag \(x\) in Euro zu.

\(f^{-1}\) heißt Umkehrfunktion von \(f\).

Umkehrfunktion berechnen

Vorgehensweise

  1. Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen
  2. \(x\) und \(y\) vertauschen

Beispiel

Gesucht ist die Umkehrfunktion von \(f\colon\; y = 2x + 1\).

1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
y &= 2x + 1 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
y - 1 &= 2x &&{\color{gray}| :2}\\[5pt]
\frac{1}{2}y - \frac{1}{2} &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}
\end{align*}\)

2.) \(x\) und \(y\) vertauschen

\(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)

Die Umkehrfunktion der Funktion \(f\colon\; y = 2x + 1\) ist \(f^{-1}\colon\; y = 0,5x - 0,5\).

Um die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

\(\phantom{^{-1}}f\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y & -3 & -1 & 1 & 3 & 5
\end{array}\)

Die Wertetabelle von \(f^{-1}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von \(f\).

\(f^{-1}\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 \\
\hline
y & -2 & -1 & 0 & 1 & 2
\end{array}\)


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- die Funktion \(f\colon\; y = 2x + 1\)
- die Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- die Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\; y = 0,5x - 0,5\)

Ist dir aufgefallen, dass die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) symmetrisch zueinander sind?

Der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist die Spiegelung
des Graphen der Funktion \(f\) an der Winkelhalbierenden.

Da bei der Umkehrfunktion im Vergleich zur zugehörigen Funktion \(x\) und \(y\) vertauscht sind, gilt:

  • Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{D}_{f^{-1}}\) = Wertemenge der Funktion \(\mathbb{W}_{f}\)
  • Wertemenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{W}_{f^{-1}}\) = Definitionsmenge der Funktion \(\mathbb{D}_{f}\)

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!