Steigungsformel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Steigungsformel versteht.

Steigungsformel

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]

Mit Hilfe der Steigungsformel kann man die Steigung einer Geraden berechnen,
von der die beiden Punkte \(P_0(x_0|y_0)\) und \(P_1(x_1|y_1)\) bekannt sein.



Im letzten Kapitel haben wir uns angeschaut, wie man die Steigungsformel mit Hilfe des Steigungsdreiecks herleitet: \[m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]

Beispiel

Gegeben sind zwei Punkte \(P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})\) und \(P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})\).
Wie groß ist die Steigung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft?

Wir setzen die Koordinaten der Punkte in die Steigungsformel ein und erhalten

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} = \frac{9}{2} = 4,5\]

Merke: Das Vertauschen der Punkte ändert nichts am Ergebnis!

\[m = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} = \frac{{\color{red}-3} - {\color{red}6}}{{\color{maroon}2} - {\color{maroon}4}} = \frac{-9}{-2} = 4,5\]

Der Vollständigkeit halber möchten wir an dieser Stelle noch eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel erwähnen. Diese Schreibweise basiert auf dem Symbol \(\Delta\), welches in der Mathematik meist für die Differenz (besser gesagt: den Abstand) zweier Werte steht. Bei dem Symbol \(\Delta\) handelt es sich übrigens um den griechischen Großbuchstaben "Delta".



Es gilt: \(\Delta y = y_1 - y_0\)
            \(\Delta x = x_1 - x_0\)

Eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel ist demnach: \[m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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