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Exponentialfunktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Exponentialfunktionen sind.

Im Unterschied zu den Potenzfunktionen (z. B. \(y = x^2\)), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. \(y = 2^x\)) die Variable im Exponenten.

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion ist \(y = a^x\).
(mit \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\) und \(x \in \mathbb{R}\))

Wegen \(y = f(x)\) schreibt man auch häufig \(f(x) = a^x\).

Warum darf die Basis nicht gleich 1 sein?

Für \(a = 1\) wird die Exponentialfunktion zu einer konstanten Funktion: \(f(x) = 1^x = 1\).

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}

Die obige Wertetabelle zeigt, dass der \(y\)-Wert der Funktion \(f(x) = 1^x\) immer 1 ist.





Der Graph der Funktion \(f(x) = 1^x\)
ist eine Parallele zur x-Achse.

Warum darf die Basis nicht negativ sein?

Die Funktion \(f(x) = (-2)^x\) würde für \(x = \frac{1}{2}\) zu dem Funktionwert \(y = (-2)^{\frac{1}{2}}\) führen.
Laut einem der Wurzelgesetze gilt: \((-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}\).

Für negative Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert! (> Wurzeln)

Graph einer Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.

Die Exponentialkurven unterscheiden sich danach, ob die Basis \(a\)

  • zwischen 0 und 1 liegt oder
  • größer als 1 ist.

a) Basis \(a\) zwischen 0 und 1

Gilt \(0 < a < 1\), so spricht man von exponentieller Abnahme.

Beispiel

\[f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\]

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\
\end{array}




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer \(x\), desto kleiner \(y\) \(\Rightarrow\) Der Graph ist streng monoton fallend!
  • Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der x-Achse.

b) Basis \(a\) größer als 1

Gilt \(a > 0\), so spricht man von exponentiellem Wachstum.

Beispiel

\[g(x) = 2^x\]

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\
\end{array}




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[g(x) = 2^x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer \(x\), desto größer \(y\) \(\Rightarrow\) Der Graph ist streng monoton steigend!
  • Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der x-Achse.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Wenn wir die beiden Funktionen \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) und \(g(x) = 2^x\) in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.




Die Abbildung zeigt folgende Graphen
\(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) und \(g(x) = 2^x\)

  1. Alle Exponentialkurven verlaufen oberhalb der x-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\).
  2. Alle Exponentialkurven kommen der x-Achse beliebig nahe.
    \(\Rightarrow\) Die x-Achse ist waagrechte Asymptote der Exponentialkurve.
  3. Alle Exponentialkurven schneiden die y-Achse im Punkt (0|1).
    (Laut einem Potenzgesetz gilt nämlich: \(a^0 = 1\).)
    \(\Rightarrow\) Der y-Achsenabschnitt der Exponentialfunktion ist \(y = 1\).
  4. Exponentialkurven haben keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
    \(\Rightarrow\) Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen!

Besondere Eigenschaft 1 (Achsensymmetrie)

Die Exponentialfunktionen \(f(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x\) und \(g(x) = a^x\) sind bezüglich der y-Achse achsensymmetrisch. Nachweis der Achsensymmetrie zur y-Achse:
\(f(-x) = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x} = a^{x} = g(x)\)
Um den Nachweis zu verstehen, musst du die Potenzgesetze beherrschen.

Besondere Eigenschaft 2 (Zusammenhang zwischen x- und y-Wert)

Der Funktionswert \(y = f(x)\) einer Exponentialfunktion ändert sich folgendermaßen, wenn man

  • \(x\) um 2 vergrößert:
    \(f(x+2) = a^{x + 2} = a^2 \cdot a^x = a^2 \cdot f(x)\)
  • \(x\) um 2 verkleinert:
    \(f(x-2) = a^{x - 2} = a^{-2} \cdot a^x = a^{-2} \cdot f(x)\)
  • \(x\) verdoppelt (= mit 2 multpliziert):
    \(f(2x) = a^{2x} = \left(a^x\right)^2 = (f(x))^2\)
  • \(x\) halbiert (= durch 2 dividiert):
    \(f(\frac{1}{2}x) = a^{\frac{1}{2}x} = \left(a^x\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{f(x)}\)

Bei der Berechnung von Funktionswerten ist vor allem der 1. Fall von Bedeutung:
\(a^{x + s} = a^s \cdot a^x = a^s \cdot f(x)\)

Werden bei einer Exponentialfunktion zur Basis \(a\) die \(x\)-Werte jeweils um einen festen Zahlenwert \(s \in \mathbb{R}\) vergrößert, so werden die Funktionswerte mit einem konstanten Faktor \(a^s\) vervielfacht.

Beispiel

Gegeben ist eine (fast) leere Wertetabelle zur Funktion \(f(x) = 2^x\).
Unser Ziel ist es, die Wertetabelle mit Hilfe der obigen Regel aufzufüllen.

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & \frac{1}{8} & & & & & & \\
\end{array}

Steigt der \(x\)-Wert um \(s = 1\),
vielvielfacht sich der Funktionswert mit dem konstanten Faktor \(a^s = 2^1 = 2\):

\(f(-2) = 2 \cdot f(-3) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}\)

\(f(-1) = 2 \cdot f(-2) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

\(f(0) = 2 \cdot f(-1) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\)

\(f(1) = 2 \cdot f(0) = 2 \cdot 1 = 2\)

\(f(2) = 2 \cdot f(1) = 2 \cdot 2 = 4\)

\(f(3) = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot 4 = 8\)

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\
\end{array}

In der Fachliteratur wird diese Regel allgemein so geschrieben: \(f(x+y) = f(x) \cdot f(y)\).
Diese Gleichung wird auch als „Funktionalgleichung der Exponentialfunktion“ bezeichnet.

Beispiel (Fortsetzung)

Ist \(f(x) = 2^x\), dann ist \(f(1+2)\):

\(f(1+2) = f(1) \cdot f(2) = 2^1 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 = f(3)\)

Der Summe zweier Zahlen wird das Produkt ihrer Funktionswerte zugeordnet.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(f(x) = a^x \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\)
Asymptote \(y = 0\) (also die x-Achse)
Schnittpunkt mit y-Achse
\(P(0|1)\) (wegen \(f(0) = a^0 = 1\))
Schnittpunkte mit x-Achse keine!
Monotonie \(0 < a < 1\): streng monoton fallend
\(a > 1\): streng monoton steigend
Umkehrfunktion Logarithmusfunktion \(f(x) = \log_{a}x\)

Die bekannteste Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion, die sog. e-Funktion.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!